इस पोस्ट में आप समतल आकृतियों के जड़त्व आघूर्ण के सूत्र पाएंगे तथा कई सरल आकृतियों से बनी आकृतियों के जड़त्व आघूर्ण की गणना करते समय इन सूत्रों का उपयोग कैसे करें, यह जानेंगे।

1. अक्ष के परितः समतल आकृतियों का जड़त्व आघूर्ण (अक्षीय जड़त्व आघूर्ण)
2. समतल आकृतियों के विचलन के क्षण
3. सरल आकृतियों की जड़ता के क्षणों के लिए सूत्र
4. जड़ता के क्षण की गणना का एक उदाहरण कार्य

अक्ष के परितः समतल आकृतियों का जड़त्व आघूर्ण (अक्षीय जड़त्व आघूर्ण)

आकृति की जड़ता का अक्षीय क्षण हम इसे प्राथमिक क्षेत्रों dA के गुणनफल और इस अक्ष से उनकी दूरी के वर्गों का योग कहते हैं।

अक्ष प्रणाली के बारे में विचलन का क्षण (केन्द्रापसारक क्षण)

आकृति के विचलन का क्षण अक्ष के सापेक्ष प्राथमिक क्षेत्रों dA के गुणनफल और अक्ष से उनकी दूरी का योग कहलाता है। विचलन के क्षण को कभी-कभी बड़े अक्षर डी के प्रतीक के साथ चिह्नित किया जाता है।

यदि किसी आकृति में समरूपता का कम से कम एक अक्ष है, तो ऐसी आकृति का विचलन क्षण शून्य है।

हम इंटीग्रल का उपयोग करके परिभाषा के अनुसार किसी भी आकृति की सुंदरता के क्षणों को निर्धारित करने के लिए उपरोक्त सूत्रों का उपयोग कर सकते हैं। हालाँकि, इस प्रविष्टि में, मैं परिभाषाओं और अभिन्नों का उपयोग किए बिना सरल आकृतियों के सूत्रों का उपयोग करके आकृतियों की सुंदरता के क्षणों की गणना करने की विधि से निपटना चाहूंगा। आपको इस प्रकार के कार्यों का अक्सर सामना करना पड़ेगा।

इस विधि का उपयोग करने के लिए हम प्रयोग करेंगे स्टीनर के प्रमेय. आप इस विधि के बारे में अधिक जानकारी यहां पा सकते हैं प्रवेश.

सरल आकृतियों की जड़ता के क्षणों के लिए सूत्र

नीचे दिए गए चित्र में आपको मूल सीधी आकृतियों की जड़ता के क्षणों और विचलन के क्षणों के लिए सूत्र मिलेंगे। इस तालिका में शामिल सूत्र जटिल आंकड़ों से जुड़ी समस्याओं को हल करने के लिए पर्याप्त हैं।

ध्यान दें कि एक त्रिभुज और एक चौथाई वृत्त के लिए, विचलन के क्षण का संकेत समन्वय प्रणाली के सापेक्ष आकृति के अभिविन्यास पर निर्भर करता है

जड़ता के क्षण की गणना का एक उदाहरण कार्य

नीचे दिया गया चित्र एक वर्ग, एक त्रिभुज और एक कट-आउट वृत्त से बना एक चित्र दिखाता है। इस आंकड़े के लिए हम जड़ता के केंद्रीय क्षण और विचलन के क्षण की गणना करेंगे।

निःशुल्क आजमाएँ जड़त्व आघूर्ण कैलकुलेटर आप साधारण आकृतियों से कोई भी आकृति बना सकते हैं और उसका गुरुत्वाकर्षण केंद्र और जड़त्व आघूर्ण निर्धारित कर सकते हैं।.

इस प्रकार के कार्य कैसे करें इसके निर्देश नीचे दिए गए हैं:

1. किसी आकृति का सरल आकृतियों में विभाजन (आयत, त्रिभुज, वृत्त...)
2. इन सरल आंकड़ों के लिए सतह क्षेत्रों और गुरुत्वाकर्षण के केंद्रों की गणना।
3. संपूर्ण आकृति के गुरुत्व केंद्र की गणना.
4. सभी सरल आकृतियों (आयत, त्रिभुज, वृत्त...) के लिए जड़त्व के केंद्रीय क्षणों और विचलन के क्षणों की गणना का उपयोग करके की जाती है चित्र 3
5. संपूर्ण आकृति के लिए जड़ता के केंद्रीय क्षणों और विचलन के क्षण की गणना स्टीनर के प्रमेय.

उपरोक्त निर्देशों के अनुसार, हमारे उदाहरण के लिए, हम आकृति को सरल आकृतियों में विभाजित करते हैं:

• A1 - वर्ग, A2 - त्रिकोण, A3 - वृत्त।

हम आकृतियों के क्षेत्रफल और उनके गुरुत्वाकर्षण केंद्रों की गणना करते हैं:

• X1,x2,x3 और y1,y2,y3

फिर हम इसमें वर्णित अनुसार संपूर्ण आकृति का गुरुत्वाकर्षण केंद्र निर्धारित करते हैं प्रवेश.

आकृति के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र की गणना करने के बाद, हम जड़त्व के केंद्रीय क्षण की गणना करने के लिए आगे बढ़ते हैं। हम उपयोग करते हैं चित्र 3 और स्टीनर के प्रमेय.

ध्यान दें कि ठोस आकृतियों (हमारे उदाहरण में वर्ग और त्रिकोण) को जड़त्व गणना के क्षण में जोड़ा जाता है और कटी हुई आकृतियों (हमारे उदाहरण में वृत्त) को घटाया जाता है।

अगले चरण में, हम प्रमुख केंद्रीय जड़त्व आघूर्ण और प्रमुख अक्षों के घूर्णन कोण की गणना करेंगे। हमारे उदाहरण के लिए सामान्य सूत्र और गणनाएँ नीचे दी गई हैं।.

अंत में, हम केंद्रीय अक्षों को चिह्नित करके अपनी आकृति का एक चित्र बनाते हैं।

सारांश

इस प्रविष्टि में हमने समतल आकृतियों के जड़त्व आघूर्ण से संबंधित प्रमुख मुद्दों को प्रस्तुत किया है। हमने सरल एवं जटिल आकृतियों के लिए जड़त्व आघूर्ण एवं विचलन आघूर्ण निर्धारित करने की बुनियादी परिभाषाओं एवं व्यावहारिक विधियों पर चर्चा की। हमने गणनाओं में स्टीनर के प्रमेय की महत्वपूर्ण भूमिका पर ध्यान दिया, जो केंद्रीय मानों और संदर्भ अक्ष से गुरुत्वाकर्षण के केंद्र की दूरी का उपयोग करके किसी भी अक्ष के बारे में क्षणों की गणना करने की अनुमति देता है।

तैयार पैटर्न का उपयोग और एक जटिल आकृति को सरल तत्वों में तोड़ने की क्षमता इंजीनियरिंग, वास्तुकला और संरचनात्मक विश्लेषण में अमूल्य है। गुरुत्वाकर्षण के केंद्र को सही ढंग से निर्धारित करने और उपयुक्त सूत्रों का उपयोग करने की क्षमता गणना को काफी सरल बना सकती है और त्रुटियों से बच सकती है।

याद रखें कि किसी भी द्रव्यमान ज्यामिति समस्या को चरणबद्ध तरीके से हल किया जा सकता है: आकृति का विश्लेषण करने से लेकर, उसे तत्वों में विभाजित करने तक, तथा कुल जड़त्व आघूर्ण में उनके योगदान का योग करने तक। मैं आपको कैलकुलेटर का उपयोग करने तथा समस्याओं को हल करते समय इस पोस्ट पर वापस आने के लिए प्रोत्साहित करता हूँ। जड़त्व के क्षणों को सीखना कई तकनीकी क्षेत्रों में एक ठोस आधार है!