Dans ce billet, vous trouverez les formules des moments d'inertie des figures planes et comment appliquer ces formules pour calculer le moment d'inertie de figures composées de plusieurs figures simples.

1. Moment d'inertie des figures planes autour d'un axe (moment d'inertie)
2. Moments de déviation des figures planes
3. Formules pour les moments d'inertie des figures simples
4. Exemple de calcul du moment d'inertie

Moment d'inertie des figures planes autour d'un axe (moment d'inertie)

Moment d'inertie axial de la figure que nous appelons la somme des produits des champs élémentaires dA et des carrés de leurs distances à cet axe.

Moment de déviation par rapport au système d'axes (moment centrifuge)

Le moment de déviation de la figure par rapport à l'axe s'appelle la somme des produits des champs élémentaires dA et de leurs distances par rapport à l'axe. Le moment de déviation est parfois désigné par la lettre majuscule D.

Si une figure possède au moins un axe de symétrie, le moment de déviation d'une telle figure est nul.

Nous pouvons utiliser les formules ci-dessus pour déterminer les moments de charge de n'importe quelle figure à partir de définitions utilisant des intégrales. Dans ce billet, cependant, j'aimerais aborder la manière de calculer les moments de charge des figures à l'aide des formules pour les figures simples sans utiliser de définitions ni d'intégrales. Vous rencontrerez très souvent des tâches de ce type.

Pour utiliser cette méthode, nous utiliserons Théorèmes de Steiner. Vous trouverez plus d'informations sur cette méthode dans le document suivant entrée.

Formules pour les moments d'inertie des figures simples

Dans la figure ci-dessous, vous trouverez les formules pour les moments d'inertie et les moments de déviation des figures simples de base. Les formules de ce tableau sont suffisantes pour résoudre les problèmes liés à des figures complexes.

Notez que pour un triangle et un quadrant de cercle, le signe du moment de déviation dépend de l'orientation de la figure par rapport au système de coordonnées.

Exemple de calcul du moment d'inertie

La figure ci-dessous représente une figure composée d'un carré, d'un triangle et d'un cercle découpé. Pour cette figure, nous allons calculer les moments d'inertie centraux et le moment de déviation.

Essayer gratuitement Calculateur de moment d'inertie Vous pouvez créer n'importe quelle figure composée de figures droites et déterminer son centre de gravité et son moment d'inertie.

Vous trouverez ci-dessous des instructions pour faire face à ce type de tâche :

1. Division des figures en figures simples (rectangles, triangles, cercles...)
2. Calcul des aires et des centres de gravité pour ces figures simples.
3. Calcul du centre de gravité de l'ensemble de la figure.
4. Calcul des moments centraux d'inertie et des moments de déviation pour toutes les figures simples (rectangles, triangles, cercles...) à l'aide de la fonction Fig.3
5. Calcul des moments d'inertie centraux et du moment de déviation pour l'ensemble de la figure à l'aide de la fonction Théorèmes de Steiner.

En suivant les instructions ci-dessus pour notre exemple, nous divisons la figure en figures simples :

• A1 - quadrilobe, A2 - triangle, A3 - cercle.

Nous calculons les aires des figures et leurs centres de gravité :

• x1,x2,x3 et y1,y2,y3

Ensuite, nous déterminons le centre de gravité de l'ensemble de la figure comme décrit dans ce document. entrée.

Après avoir calculé le centre de gravité de la figure, nous procédons au calcul du moment d'inertie central. Nous utilisons fig.3 et Théorèmes de Steiner.

Notez que les figures pleines (le carré et le triangle dans notre exemple) sont additionnées dans le calcul du moment d'inertie et que les figures coupées (le cercle dans notre exemple) sont soustraites.

Dans l'étape suivante, nous calculerons les moments d'inertie centraux principaux et l'angle de rotation des axes principaux. Les formules générales et les calculs pour notre exemple se trouvent ci-dessous.

Enfin, nous créons un dessin de notre figure avec les axes centraux tracés.

Résumé

Dans ce billet, nous avons présenté les questions clés liées aux moments d'inertie des figures planes. Nous avons abordé à la fois les définitions de base et les méthodes pratiques de détermination des moments d'inertie et des moments de déviation pour les figures simples et complexes. Nous avons souligné le rôle important du théorème de Steiner dans les calculs, qui permet de recalculer les moments autour d'axes arbitraires en utilisant les valeurs centrales et la distance du centre de gravité par rapport à l'axe de référence.

L'utilisation de formules prêtes à l'emploi et la capacité à décomposer une figure complexe en éléments plus simples sont inestimables dans les domaines de l'ingénierie, de l'architecture ou de l'analyse structurelle. La capacité à déterminer correctement le centre de gravité et à appliquer les formules appropriées permet de simplifier considérablement les calculs et d'éviter les erreurs.

Rappelez-vous que tout problème de géométrie des masses peut être résolu étape par étape : de l'analyse de la figure à sa division en éléments, en passant par l'addition de leurs contributions au moment d'inertie total. Je vous encourage à utiliser une calculatrice et à revenir à cet article de blog pour résoudre les problèmes. L'apprentissage des moments d'inertie est une base solide dans de nombreux domaines techniques !