En este post encontrarás las fórmulas de los momentos de inercia de las figuras planas y cómo aplicar estas fórmulas a la hora de calcular el momento de inercia de figuras formadas por varias figuras simples.

1. Momento de inercia de figuras planas alrededor de un eje (momento de inercia)
2. Momentos de desviación de figuras planas
3. Fórmulas de los momentos de inercia de figuras simples
4. Ejemplo de tarea sobre el cálculo del momento de inercia

Momento de inercia de figuras planas alrededor de un eje (momento de inercia)

Momento de inercia axial de la figura llamamos a la suma de los productos de los campos elementales dA y los cuadrados de sus distancias a este eje.

Momento de desviación con respecto al sistema de ejes (momento centrífugo)

El momento de desviación de la figura respecto al eje se denomina a la suma de los productos de los campos elementales dA y sus distancias respecto al eje. El momento de desviación se denota a veces con la letra mayúscula D.

Si una figura tiene al menos un eje de simetría, el momento de desviación de dicha figura es cero.

Podemos utilizar las fórmulas anteriores para determinar los momentos de carga de cualquier figura a partir de definiciones utilizando integrales. En este post, sin embargo, me gustaría abordar cómo calcular momentos de carga de figuras usando las fórmulas para figuras simples sin usar definiciones e integrales. Te encontrarás con tareas de este tipo muy a menudo.

Para utilizar este método utilizaremos Teoremas de Steiner. Puede encontrar más información sobre este método en este entrada.

Fórmulas de los momentos de inercia de figuras simples

En la siguiente figura encontrarás las fórmulas de los momentos de inercia y de desviación de figuras sencillas básicas. Las fórmulas de esta tabla son suficientes para resolver tareas en las que tengamos figuras complejas.

Obsérvese que para un triángulo y un cuadrante de círculo, el signo del momento de desviación depende de la orientación de la figura con respecto al sistema de coordenadas

Ejemplo de tarea sobre el cálculo del momento de inercia

La siguiente figura muestra una figura formada por un cuadrado, un triángulo y un círculo recortado. Para esta figura calcularemos los momentos centrales de inercia y el momento de desviación.

Prueba gratis Calculadora del momento de inercia Es posible crear figuras compuestas por segmentos rectilíneos y determinar su centroide y momento de inercia.

A continuación encontrará instrucciones para realizar este tipo de tareas:

1. División de figuras en figuras simples ( rectángulos, triángulos, círculos...)
2. Cálculo de áreas y centros de gravedad para estas figuras simples.
3. Cálculo del centro de gravedad de toda la figura.
4. Cálculo de los momentos centrales de inercia y de los momentos de desviación para todas las figuras simples ( rectángulos, triángulos, círculos...) utilice la función Fig.3
5. Cálculo de los momentos centrales de inercia y del momento de desviación para toda la figura utilizando el Teoremas de Steiner.

Siguiendo las instrucciones anteriores para nuestro ejemplo, dividimos la figura en figuras simples:

• A1 - cuatrifolio, A2 - triángulo, A3 - círculo.

Calculamos las áreas de las figuras y sus centros de gravedad:

• x1,x2,x3 e y1,y2,y3

A continuación determinamos el centro de gravedad de toda la figura como se describe en este entrada.

Una vez calculado el centro de gravedad de la figura, procedemos a calcular el momento central de inercia. Para ello utilizamos fig.3 y Teoremas de Steiner.

Observe que las figuras sólidas (cuadrado y triángulo en nuestro ejemplo) se suman en el cálculo del momento de inercia y las figuras cortadas (círculo en nuestro ejemplo) se restan.

En el siguiente paso, calcularemos los momentos de inercia centrales principales y el ángulo de rotación de los ejes principales. Las fórmulas y cálculos generales para nuestro ejemplo se encuentran a continuación.

Por último, creamos un dibujo de nuestra figura con los ejes centrales trazados.

Resumen

En este post, hemos presentado las cuestiones clave relacionadas con los momentos de inercia de las figuras planas. Hemos tratado tanto las definiciones básicas como los métodos prácticos para determinar los momentos de inercia y los momentos de desviación de figuras simples y complejas. Hemos destacado el importante papel del Teorema de Steiner en los cálculos, que permite recalcular los momentos en torno a ejes arbitrarios utilizando los valores centrales y la distancia del centro de gravedad al eje de referencia.

El uso de fórmulas prefabricadas y la capacidad de descomponer una figura compleja en elementos más simples tienen un valor incalculable en ingeniería, arquitectura o análisis estructural. La capacidad de determinar correctamente el centro de gravedad y aplicar las fórmulas adecuadas permite simplificar considerablemente los cálculos y evitar errores.

Recuerda que cualquier problema de geometría de masas puede resolverse paso a paso: desde el análisis de la figura, pasando por su división en elementos, hasta la suma de sus contribuciones al momento de inercia total. Te animo a que utilices una calculadora y vuelvas a esta entrada del blog cuando resuelvas los problemas. Aprender los momentos de inercia es una base sólida en muchos campos técnicos.