V tomto příspěvku naleznete vzorce pro momenty setrvačnosti rovinných obrazců a návod, jak tyto vzorce použít při výpočtu momentu setrvačnosti obrazců složených z několika jednoduchých obrazců.

1. Moment setrvačnosti rovinných útvarů kolem osy (moment setrvačnosti)
2. Momenty odchylek rovinných obrazců
3. Vzorce pro momenty setrvačnosti jednoduchých obrazců
4. Příklad úlohy na výpočet momentu setrvačnosti

Moment setrvačnosti rovinných útvarů kolem osy (moment setrvačnosti)

Osový moment setrvačnosti obrazce nazýváme součet součinů elementárních polí dA a čtverců jejich vzdáleností od této osy.

Moment odchylky vzhledem k osové soustavě (odstředivý moment)

Moment odchylky obrázku vzhledem k ose se nazývá součet součinů elementárních polí dA a jejich vzdáleností od osy. Moment odchylky se někdy označuje velkým písmenem D.

Pokud má figura alespoň jednu osu symetrie, je moment odchylky takové figury nulový.

Výše uvedené vzorce můžeme použít k určení nábojových momentů libovolných čísel z definic pomocí integrálů. V tomto příspěvku bych se však rád věnoval tomu, jak vypočítat nábojové momenty těles pomocí vzorců pro jednoduchá tělesa bez použití definic a integrálů. S úlohami tohoto typu se budete setkávat velmi často.

Pro použití této metody použijeme Steinerovy věty. Více informací o této metodě najdete v tomto článku. vstup.

Vzorce pro momenty setrvačnosti jednoduchých obrazců

Na obrázku níže najdete vzorce pro momenty setrvačnosti a momenty výchylky základních jednoduchých těles. Vzorce v této tabulce jsou dostačující pro řešení úloh, kde máme složité figury.

Všimněte si, že pro trojúhelník a kvadrant kruhu závisí znaménko momentu odchylky na orientaci obrazce vzhledem k souřadnicovému systému.

Příklad úlohy na výpočet momentu setrvačnosti

Na obrázku níže je znázorněn obrazec složený ze čtverce, trojúhelníku a vystřiženého kruhu. Pro tento obrazec vypočítáme střední momenty setrvačnosti a moment odchylky.

Vyzkoušejte si ji zdarma Kalkulačka momentu setrvačnosti Můžete vytvořit libovolný obrazec složený z přímých figur a určit jeho těžiště a moment setrvačnosti.

Níže jsou uvedeny pokyny pro řešení tohoto typu úloh:

1. Rozdělení obrázků na jednoduché útvary (obdélníky, trojúhelníky, kružnice...)
2. Výpočet ploch a těžišť těchto jednoduchých obrazců.
3. Výpočet těžiště celé figury.
4. Výpočet středových momentů setrvačnosti a momentů odchylky pro všechny jednoduché útvary (obdélníky, trojúhelníky, kružnice...) pomocí příkazu Obr.3
5. Výpočet středových momentů setrvačnosti a momentu odchylky pro celou figuru pomocí metody Steinerovy věty.

Podle výše uvedených pokynů pro náš příklad rozdělíme obrázek na jednoduché figury:

• A1 - čtyřlístek, A2 - trojúhelník, A3 - kruh.

Vypočítáme plochy obrazců a jejich těžiště:

• x1,x2,x3 a y1,y2,y3

Poté určíme těžiště celé figury podle tohoto návodu. vstup.

Po výpočtu těžiště postavy přejdeme k výpočtu středového momentu setrvačnosti. Použijeme obr.3 a Steinerovy věty.

Všimněte si, že pevné útvary (čtverec a trojúhelník v našem příkladu) se při výpočtu momentu setrvačnosti sčítají a řezané útvary (kruh v našem příkladu) se odečítají.

V dalším kroku vypočítáme hlavní centrální momenty setrvačnosti a úhel natočení hlavních os. Obecné vzorce a výpočty pro náš příklad naleznete níže.

Nakonec vytvoříme výkres našeho obrázku se zakreslenými centrálními osami.

Souhrn

V tomto příspěvku jsme představili klíčové otázky týkající se momentů setrvačnosti rovinných útvarů. Probrali jsme jak základní definice, tak praktické metody určování momentů setrvačnosti a momentů výchylky pro jednoduché a složité obrazce. Zdůraznili jsme důležitou roli Steinerovy věty při výpočtech, která umožňuje přepočítat momenty kolem libovolných os pomocí středových hodnot a vzdálenosti těžiště od vztažné osy.

Používání hotových vzorců a schopnost rozložit složitý obrazec na jednodušší prvky je neocenitelné v inženýrství, architektuře nebo konstrukční analýze. Schopnost správně určit těžiště a použít příslušné vzorce umožňuje výrazně zjednodušit výpočty a vyhnout se chybám.

Pamatujte, že každý problém geometrie hmoty lze řešit postupně: od analýzy obrázku přes jeho rozdělení na prvky až po sečtení jejich příspěvků k celkovému momentu setrvačnosti. Doporučuji vám používat kalkulačku a při řešení úloh se vracet k tomuto příspěvku na blogu. Naučit se momenty setrvačnosti je pevným základem v mnoha technických oborech!