В этой заметке вы найдете формулы для моментов инерции плоских фигур и узнаете, как применять эти формулы при вычислении момента инерции фигур, составленных из нескольких простых фигур.

1. Момент инерции плоских фигур относительно оси (момент инерции)
2. Моменты отклонения плоских фигур
3. Формулы для моментов инерции простых фигур
4. Пример задачи на расчет момента инерции

Момент инерции плоских фигур относительно оси (момент инерции)

Осевой момент инерции фигуры мы называем сумму произведений элементарных полей dA и квадратов их расстояний от этой оси.

Момент отклонения относительно системы осей (центробежный момент)

Момент отклонения фигуры относительно оси называется суммой произведений элементарных полей dA и их расстояний от оси. Момент отклонения иногда обозначают заглавной буквой D.

Если фигура имеет хотя бы одну ось симметрии, то момент отклонения такой фигуры равен нулю.

Мы можем использовать приведенные выше формулы для определения моментов заряда любых фигур из определений с помощью интегралов. Однако в этом посте я хотел бы рассмотреть, как вычислить моменты заряда фигур по формулам для простых фигур без использования определений и интегралов. С задачами такого типа вы будете сталкиваться очень часто.

Чтобы использовать этот метод, мы воспользуемся Теоремы Штейнера. Более подробную информацию об этом методе вы можете найти здесь вход.

Формулы для моментов инерции простых фигур

На рисунке ниже вы найдете формулы для моментов инерции и моментов отклонения основных простых фигур. Формулы, приведенные в этой таблице, достаточны для решения задач, в которых мы имеем сложные фигуры.

Заметим, что для треугольника и квадранта круга знак момента отклонения зависит от ориентации фигуры относительно системы координат

Пример задачи на расчет момента инерции

На рисунке ниже изображена фигура, состоящая из квадрата, треугольника и вырезанного круга. Для этой фигуры мы вычислим центральные моменты инерции и момент отклонения.

Попробуйте бесплатно Калькулятор момента инерции Вы можете создать любую фигуру, состоящую из прямых фигур, и определить ее центр тяжести и момент инерции.

Ниже приведены инструкции по решению этого типа задач:

1. Деление фигур на простые фигуры (прямоугольники, треугольники, круги...)
2. Вычислите площади и центры тяжести этих простых фигур.
3. Расчет центра тяжести всей фигуры.
4. Вычисление центральных моментов инерции и моментов отклонения для всех простых фигур (прямоугольников, треугольников, кругов...) с помощью программы Рис.3
5. Вычисление центральных моментов инерции и момента отклонения для всей фигуры с использованием Теоремы Штейнера.

Следуя приведенным выше инструкциям для нашего примера, мы разделим фигуру на простые фигуры:

• A1 - четырехугольник, A2 - треугольник, A3 - круг.

Мы вычисляем площади фигур и их центры тяжести:

• x1,x2,x3 и y1,y2,y3

Затем определяем центр тяжести всей фигуры, как описано здесь вход.

Рассчитав центр тяжести фигуры, переходим к вычислению центрального момента инерции. Для этого мы используем рис.3 и Теоремы Штейнера.

Обратите внимание, что сплошные фигуры (квадрат и треугольник в нашем примере) при расчете момента инерции складываются, а разрезные (круг в нашем примере) - вычитаются.

На следующем этапе мы вычислим главные центральные моменты инерции и угол поворота главных осей. Общие формулы и расчеты для нашего примера приведены ниже.

Наконец, мы создадим чертеж нашей фигуры с нанесенными центральными осями.

Резюме

В этом посте мы рассмотрели основные вопросы, связанные с моментами инерции плоских фигур. Мы рассмотрели как основные определения, так и практические методы определения моментов инерции и моментов отклонения для простых и сложных фигур. Мы подчеркнули важную роль теоремы Штейнера в расчетах, которая позволяет пересчитывать моменты относительно произвольных осей, используя центральные значения и расстояние центра тяжести от оси отсчета.

Использование готовых формул и умение разложить сложную фигуру на более простые элементы неоценимо в инженерном деле, архитектуре или структурном анализе. Умение правильно определить центр тяжести и применить соответствующие формулы позволяет значительно упростить расчеты и избежать ошибок.

Помните, что любую задачу по геометрии масс можно решить шаг за шагом: от анализа фигуры, разделения ее на элементы до сложения их вкладов в общий момент инерции. Я рекомендую вам использовать калькулятор и возвращаться к этой статье в блоге при решении задач. Изучение моментов инерции - это прочный фундамент во многих технических областях!