In diesem Beitrag finden Sie die Formeln für Trägheitsmomente von ebenen Figuren und wie Sie diese Formeln bei der Berechnung des Trägheitsmoments von Figuren, die aus mehreren einfachen Figuren bestehen, anwenden können.

1. Trägheitsmoment von ebenen Figuren um eine Achse (Trägheitsmoment)
2. Momente der Abweichung von ebenen Figuren
3. Formeln für Trägheitsmomente von einfachen Figuren
4. Beispielaufgabe zur Berechnung des Trägheitsmoments

Trägheitsmoment von ebenen Figuren um eine Achse (Trägheitsmoment)

Axiales Trägheitsmoment der Figur nennen wir die Summe der Produkte aus den elementaren Feldern dA und den Quadraten ihrer Abstände von dieser Achse.

Abweichungsmoment gegenüber dem Achsensystem (Fliehkraftmoment)

Das Moment der Abweichung der Figur relativ zur Achse wird als Summe der Produkte der Elementarfelder dA und ihrer Abstände zur Achse bezeichnet. Das Moment der Abweichung wird manchmal mit dem Großbuchstaben D bezeichnet.

Wenn eine Figur mindestens eine Symmetrieachse hat, ist das Abweichungsmoment einer solchen Figur gleich Null.

Mit den obigen Formeln können wir die Ladungsmomente beliebiger Figuren aus Definitionen mit Hilfe von Integralen bestimmen. In diesem Beitrag möchte ich jedoch darauf eingehen, wie man Ladungsmomente von Figuren mit Hilfe der Formeln für einfache Figuren ohne Verwendung von Definitionen und Integralen berechnen kann. Aufgaben dieser Art werden Ihnen sehr häufig begegnen.

Um diese Methode anzuwenden, verwenden wir Die Steinerschen Theoreme. Weitere Informationen über diese Methode finden Sie in diesem Eintrag.

Formeln für Trägheitsmomente von einfachen Figuren

In der nachstehenden Abbildung finden Sie die Formeln für die Trägheits- und Abweichungsmomente von einfachen Grundfiguren. Die Formeln in dieser Tabelle reichen aus, um Aufgaben zu lösen, bei denen wir komplexe Figuren haben.

Man beachte, dass bei einem Dreieck und einem Kreisquadranten das Vorzeichen des Abweichungsmoments von der Ausrichtung der Figur relativ zum Koordinatensystem abhängt

Beispielaufgabe zur Berechnung des Trägheitsmoments

Die folgende Abbildung zeigt eine Figur, die aus einem Quadrat, einem Dreieck und einem ausgeschnittenen Kreis besteht. Für diese Figur werden wir die zentralen Trägheitsmomente und das Abweichungsmoment berechnen.

Kostenlos testen Trägheitsmoment-Rechner Es ist möglich, beliebige aus geraden Segmenten zusammengesetzte Figuren zu erstellen und deren Schwerpunkt sowie Trägheitsmoment zu bestimmen.

Nachfolgend finden Sie eine Anleitung zur Bewältigung dieser Aufgabe:

1. Figureneinteilung in einfache Figuren (Rechtecke, Dreiecke, Kreise...)
2. Berechnung von Flächen und Schwerpunkten für diese einfachen Figuren.
3. Berechnung des Schwerpunkts der gesamten Figur.
4. Die Berechnung der zentralen Trägheitsmomente und der Abweichungsmomente für alle einfachen Figuren (Rechtecke, Dreiecke, Kreise...) erfolgt mit dem Abb.3
5. Berechnung der zentralen Trägheitsmomente und des Abweichungsmoments für die gesamte Figur mit Hilfe der Steinersche Theoreme.

Nach den obigen Anweisungen für unser Beispiel unterteilen wir die Figur in einfache Figuren:

• A1 - Viereck, A2 - Dreieck, A3 - Kreis.

Wir berechnen die Flächen der Figuren und ihre Schwerpunkte:

• x1,x2,x3 und y1,y2,y3

Dann bestimmen wir den Schwerpunkt der gesamten Figur wie hier beschrieben Eintrag.

Nachdem wir den Schwerpunkt der Figur berechnet haben, gehen wir zur Berechnung des zentralen Trägheitsmoments über. Wir verwenden Abb. 3 und Steinersche Theoreme.

Beachten Sie, dass Vollfiguren (in unserem Beispiel Quadrat und Dreieck) bei der Berechnung des Trägheitsmoments addiert und geschnittene Figuren (in unserem Beispiel der Kreis) subtrahiert werden.

Im nächsten Schritt berechnen wir die zentralen Hauptträgheitsmomente und den Drehwinkel der Hauptachsen. Die allgemeinen Formeln und Berechnungen für unser Beispiel finden Sie unten.

Zum Schluss erstellen wir eine Zeichnung unserer Figur, in der die zentralen Achsen eingezeichnet sind.

Zusammenfassung

In diesem Beitrag haben wir die wichtigsten Fragen im Zusammenhang mit Trägheitsmomenten von ebenen Figuren vorgestellt. Wir erörtern sowohl die grundlegenden Definitionen als auch praktische Methoden zur Bestimmung von Trägheits- und Abweichungsmomenten für einfache und komplexe Figuren. Wir haben die wichtige Rolle des Steinerschen Satzes bei den Berechnungen hervorgehoben, der es ermöglicht, die Momente um beliebige Achsen mit Hilfe von Zentralwerten und dem Abstand des Schwerpunkts von der Bezugsachse neu zu berechnen.

Die Verwendung vorgefertigter Formeln und die Fähigkeit, eine komplexe Figur in einfachere Elemente zu zerlegen, sind von unschätzbarem Wert in den Bereichen Ingenieurwesen, Architektur oder Statik. Durch die Fähigkeit, den Schwerpunkt korrekt zu bestimmen und die entsprechenden Formeln anzuwenden, können Berechnungen erheblich vereinfacht und Fehler vermieden werden.

Denken Sie daran, dass jedes Problem der Massengeometrie Schritt für Schritt gelöst werden kann: von der Analyse der Figur über die Aufteilung in Elemente bis hin zur Addition ihrer Beiträge zum Gesamtträgheitsmoment. Ich empfehle Ihnen, einen Taschenrechner zu benutzen und beim Lösen von Aufgaben auf diesen Blogbeitrag zurückzugreifen. Das Erlernen von Trägheitsmomenten ist eine solide Grundlage in vielen technischen Bereichen!