In questo post troverete le formule per i momenti d'inerzia delle figure piane e come applicare queste formule nel calcolo del momento d'inerzia di figure composte da più figure semplici.

1. Momento d'inerzia di figure piane attorno a un asse (momento d'inerzia)
2. Momenti di deviazione di figure piane
3. Formule per i momenti d'inerzia di figure semplici
4. Esempio di compito per il calcolo del momento d'inerzia

Momento d'inerzia di figure piane attorno a un asse (momento d'inerzia)

Momento d'inerzia assiale della figura chiamiamo la somma dei prodotti dei campi elementari dA e dei quadrati delle loro distanze da questo asse.

Momento di deviazione rispetto al sistema di assi (momento centrifugo)

Il momento di deviazione della figura rispetto all'asse si chiama somma dei prodotti dei campi elementari dA e delle loro distanze dall'asse. Il momento della deviazione è talvolta indicato con la lettera maiuscola D.

Se una figura ha almeno un asse di simmetria, il momento di deviazione di tale figura è zero.

Possiamo utilizzare le formule precedenti per determinare i momenti di carica di qualsiasi figura a partire dalle definizioni e dagli integrali. In questo post, tuttavia, vorrei affrontare il tema di come calcolare i momenti di carica delle figure utilizzando le formule per le figure semplici senza ricorrere a definizioni e integrali. Vi capiterà molto spesso di dover affrontare compiti di questo tipo.

Per utilizzare questo metodo si utilizzerà Teoremi di Steiner. Per ulteriori informazioni su questo metodo, consultare questo documento ingresso.

Formule per i momenti d'inerzia di figure semplici

Nella figura seguente sono riportate le formule per i momenti d'inerzia e i momenti di deviazione di figure semplici di base. Le formule contenute in questa tabella sono sufficienti per risolvere compiti con figure complesse.

Si noti che per un triangolo e un quadrante di cerchio, il segno del momento di deviazione dipende dall'orientamento della figura rispetto al sistema di coordinate

Esempio di compito per il calcolo del momento d'inerzia

La figura seguente mostra una figura composta da un quadrato, un triangolo e un cerchio ritagliato. Per questa figura calcoleremo i momenti centrali di inerzia e il momento di deviazione.

Prova gratis Calcolatore del momento d'inerzia È possibile creare qualsiasi figura composta da figure rettilinee e determinarne il baricentro e il momento d'inerzia.

Di seguito sono riportate le istruzioni per affrontare questo tipo di compito:

1. Divisione in figure semplici (rettangoli, triangoli, cerchi...)
2. Calcolo di aree e baricentri per queste figure semplici.
3. Calcolo del baricentro dell'intera figura.
4. Per il calcolo dei momenti centrali d'inerzia e dei momenti di deviazione di tutte le figure semplici (rettangoli, triangoli, cerchi...) si utilizza la funzione Fig.3
5. Calcolo dei momenti centrali d'inerzia e del momento di deviazione per l'intera figura utilizzando la formula Teoremi di Steiner.

Seguendo le istruzioni sopra riportate per il nostro esempio, dividiamo la figura in figure semplici:

• A1 - quadrifoglio, A2 - triangolo, A3 - cerchio.

Calcoliamo le aree delle figure e i loro centri di gravità:

• x1,x2,x3 e y1,y2,y3

Determiniamo quindi il baricentro dell'intera figura come descritto in questo articolo ingresso.

Dopo aver calcolato il baricentro della figura, si procede al calcolo del momento d'inerzia centrale. Utilizziamo fig.3 e Teoremi di Steiner.

Si noti che le figure solide (il quadrato e il triangolo nel nostro esempio) vengono sommate nel calcolo del momento d'inerzia e le figure tagliate (il cerchio nel nostro esempio) vengono sottratte.

Nella fase successiva, calcoleremo i momenti d'inerzia centrali principali e l'angolo di rotazione degli assi principali. Le formule generali e i calcoli per il nostro esempio sono riportati di seguito.

Infine, creiamo un disegno della nostra figura con gli assi centrali tracciati.

Sintesi

In questo post abbiamo presentato le questioni chiave relative ai momenti d'inerzia delle figure piane. Abbiamo discusso sia le definizioni di base che i metodi pratici per determinare i momenti d'inerzia e i momenti di deviazione per figure semplici e complesse. Abbiamo evidenziato il ruolo importante del Teorema di Steiner nei calcoli, che consente di ricalcolare i momenti attorno ad assi arbitrari utilizzando i valori centrali e la distanza del baricentro dall'asse di riferimento.

L'uso di formule già pronte e la capacità di scomporre una figura complessa in elementi più semplici sono preziosi in ingegneria, architettura o analisi strutturale. La capacità di determinare correttamente il baricentro e di applicare le formule appropriate consente di semplificare notevolmente i calcoli e di evitare errori.

Ricordate che qualsiasi problema di geometria delle masse può essere risolto passo dopo passo: dall'analisi della figura, alla suddivisione in elementi, alla somma dei loro contributi al momento d'inerzia totale. Vi invito a usare una calcolatrice e a tornare a questo post quando risolvete i problemi. L'apprendimento dei momenti d'inerzia è una solida base in molti campi tecnici!