W tym wpisie znajdziesz wzory na momenty bezwładności figur płaskich oraz jak stosować te wzory podczas obliczania momentu bezwładności figur złożonych z kilku figur prostych.

1. Moment bezwładności figur płaskich względem osi (osiowy moment bezwładności)
2. Momenty dewiacji figur płaskich
3. Wzory na momenty bezwładności figur prostych
4. Przykładowe zadanie z obliczania momentu bezładności

Moment bezwładności figur płaskich względem osi (osiowy moment bezwładności)

Osiowym momentem bezwładności figury nazywamy sumę iloczynów pól elementarnych dA oraz kwadratów ich odległości od tej osi.

Moment dewiacji względem układu osi (moment odśrodkowy)

Momentem dewiacji figury względem osi nazywamy sumę iloczynów pól elementarnych dA oraz ich odległości od osi. Moment dewiacji czasem oznaczany jest symbolem dużej litery D.

Jeśli figura posiada chociaż jedną oś symetrii, moment dewiacji takiej figury wynosi zero.

Powyższe wzory możemy używać do wyznaczania momentów ładności dowolnych figur z definicji przy użyciu całek. W tym wpisie jednak chciałbym się zająć sposobem obliczania momentów ładności figur przy użyciu wzorów na figury proste bez korzystania z definicji i całek. Z zadaniami tego typu spotkasz się bardzo często.

Aby użyć tej metody skorzystamy z Twierdzenia Steinera. O tej metodzie znajdziesz więcej informacji w tym wpisie.

Wzory na momenty bezwładności figur prostych

Na rysunku poniżej znajdziecie wzory na momenty bezwładności oraz momenty dewiacji podstawowych figur prostych. Wzory zawarte w tej tabeli są wystarczające do rozwiązania zadań gdzie mamy figury złożone.

Zwróć uwagę, że dla trójkąta oraz ćwiartki koła znak momentu dewiacji zależy od orientacji figury względem układu współrzędnych

Przykładowe zadanie z obliczania momentu bezładności

Na rysunku poniżej przedstawiona jest figura złożona z kwadratu, trójkąta i wyciętego koła. Dla tej figury obliczymy centralne momenty bezwładności oraz moment dewiacji.

Wypróbuj za darmo Kalkulator Momentów Bezwładności Możesz utworzyć dowolną figurę składającą się z figur prostych i wyznaczyć jej środek ciężkości oraz moment bezwładności.

Poniżej instrukcja postępowania w tego typu zadaniach:

1. Podział figury na figury proste ( prostokąty, trójkąty, koła..)
2. Obliczenie pól powierzchni oraz środków ciężkości dla tych figur prostych.
3. Obliczenie środka ciężkości całej figury.
4. Obliczenie centralnych momentów bezwładności oraz momentów dewiacji dla wszystkich figur prostych ( prostokąty, trójkąty, koła..) korzystamy z Rys.3
5. Obliczenie centralnych momentów bezwładności oraz momentu dewiacji dla całej figury przy użyciu Twierdzenia Steinera.

Zgodnie z powyższą instrukcją dla naszego przykładu dzielimy figurę na figury proste:

• A1 – kwarat, A2-trójkąt, A3- koło.

Obliczamy pola figur oraz ich środki ciężkości:

• x1,x2,x3 oraz y1,y2,y3

Następnie Wyznaczamy środek ciężkości całej figury co zostało opisane w tym wpisie.

Po obliczeniu środka ciężkości figury przystępujemy do obliczenia centralnego momentu bezwładności. Korzystamy z rys.3 oraz Twierdzenia Steinera.

Zwróć uwagę, że figury pełne (kwadrat i trójkąt w naszym przykładzie) są sumowane w obliczeniach momentu bezwładności a figury wycięte (koło w naszym przykładzie) są odejmowane.

W kolejnym kroku obliczymy główne centralne momenty bezładność oraz kąt obrotu osi głównych. Wzory ogólne oraz obliczenia dla naszego przykłądu znjadziesz poniżej.

Na koniec tworzymy rysunek naszej figury z naniesionymi osiami centralnymi.

Podsumowanie

W niniejszym wpisie przedstawiliśmy kluczowe zagadnienia związane z momentami bezwładności figur płaskich. Omówiliśmy zarówno podstawowe definicje, jak i praktyczne sposoby wyznaczania momentów bezwładności oraz momentów dewiacji dla figur prostych i złożonych. Zwróciliśmy uwagę na to, jak istotną rolę w obliczeniach odgrywa Twierdzenie Steinera, które pozwala przeliczać momenty względem dowolnych osi przy użyciu centralnych wartości oraz odległości środka ciężkości od osi odniesienia.

Zastosowanie gotowych wzorów oraz umiejętność rozkładu skomplikowanej figury na prostsze elementy jest nieoceniona w inżynierii, architekturze czy analizie konstrukcji. Umiejętność właściwego wyznaczenia środka ciężkości i zastosowania odpowiednich wzorów pozwala znacząco uprościć obliczenia i uniknąć błędów.

Pamiętaj, że każdy problem związany z geometrią masy można rozwiązać krok po kroku: od analizy figury, przez podział na elementy, aż po sumowanie ich wkładów do całkowitego momentu bezwładności. Zachęcam do korzystania z kalkulatora oraz powrotu do tego wpisu podczas rozwiązywania zadań. Nauka momentów bezwładności to solidny fundament w wielu dziedzinach technicznych!