Центр тяжести плоских фигур

Центр тяжести плоских фигур вычисляется по следующим формулам:

где Sx и Sy - статические моменты относительно осей x и y, A - площадь фигуры.

Диаграмма фигуры, все расчеты и графики фигуры с центром тяжести создаются в моем Калькулятор момента инерции. Вы можете создать любую фигуру, состоящую из прямых фигур, и определить ее центр тяжести.

Статический момент плоских фигур

Статический момент - важная величина в вопросах, связанных с определением центра тяжести фигур.

Для любой фигуры статический момент может быть рассчитан по следующим формулам:

Для фигур, состоящих из простых фигур, для которых известно положение центров тяжести, статические моменты будут определены без использования интегралов (Ufff 😊).

Мы будем использовать следующие формулы:

где A, x и y - площадь и координаты центров тяжести следующих фигур.

Пример расчета статического момента для прямоугольника относительно оси x показан на рисунке ниже.

В нашем примере центр тяжести прямоугольника известен нам и составляет 0,5h. Если мы умножим это расстояние на площадь прямоугольника A, то получим статический момент Sx.

Статический момент относительно оси может принимать положительные, нулевые и отрицательные значения. Момент имеет значение 0, когда ось, относительно которой он определяется, проходит через геометрический центр тяжести фигуры.

Единицей СИ статического момента является [м3].

Согласно википедии :

Система координат, для которой оси статических моментов равны 0, называется центральной, а ее оси - центральными осями.

Центр тяжести не обязательно должен находиться в области фигуры. Примером может служить сечение канала.

Вычисление центра тяжести плоской фигуры

Узнав все формулы, попробуем вычислить центр тяжести фигуры, как показано ниже:

Как видите, фигуру можно разделить на два прямоугольника. Давайте сначала отметим на фигуре положение центров тяжести каждого прямоугольника.

Мы можем принять систему координат в любой точке. Полезно принять такую систему, чтобы вся фигура находилась в первом квадранте, тогда координаты центров тяжести каждой фигуры будут положительными.

Переходя к расчету отдельных фигур, мы начнем с определения площадей и статических моментов отдельных прямоугольников. Затем мы вычислим суммы статических моментов для всей фигуры и рассчитаем координаты центра тяжести.

Как видно, горизонтальное положение центра тяжести приходится на ось симметрии фигуры. Если фигура имеет ось симметрии, то центр тяжести будет находиться на этой оси, и вычислять его не нужно.