Flächenschwerpunkt

Wir berechnen den Schwerpunkt von ebenen Figuren anhand der folgenden Formeln:

wobei Sx und Sy statische Momente um die x- und y-Achse sind und A die Fläche der Figur ist.

Das Figurendiagramm, alle Berechnungen und die Graphen der Figur mit dem Schwerpunkt werden in meinem Trägheitsmoment-Rechner. Sie können eine beliebige Figur aus geraden Figuren erstellen und ihren Schwerpunkt bestimmen.

Statisches Moment von ebenen Figuren

Das statische Moment ist eine wichtige Größe, wenn es um die Bestimmung des Schwerpunkts von Figuren geht.

Für jede Figur kann das statische Moment anhand der folgenden Formeln berechnet werden:

Für Figuren, die aus einfachen Figuren bestehen und bei denen die Lage der Schwerpunkte bekannt ist, werden die statischen Momente ohne Verwendung von Integralen bestimmt (Ufff 😊).

Wir werden die folgenden Formeln verwenden:

wobei A, x und y die Fläche und die Koordinaten der Schwerpunkte der folgenden Figuren sind.

Ein Beispiel für die Berechnung des statischen Moments für ein Rechteck in Bezug auf die x-Achse ist in der folgenden Abbildung dargestellt.

In unserem Beispiel ist uns der Schwerpunkt des Rechtecks bekannt und liegt bei 0,5h. Multipliziert man diesen Abstand mit der Fläche des Rechtecks A, erhält man das statische Moment Sx.

Ein statisches Moment um eine Achse kann positive, null und negative Werte annehmen. Ein Moment hat den Wert 0, wenn die Achse, relativ zu der es bestimmt wird, durch den geometrischen Schwerpunkt der Figur verläuft.

Die SI-Einheit des statischen Moments ist [m3].

Laut wikipedia :

Ein Koordinatensystem, bei dem die Achsen der statischen Momente 0 sind, wird als zentral bezeichnet und seine Achsen als Zentralachsen.

Der Schwerpunkt muss nicht innerhalb der Fläche der Figur liegen. Ein Beispiel wäre ein Kanalabschnitt.

Berechnung des Schwerpunkts einer ebenen Figur

Wenn wir alle Formeln kennen, können wir versuchen, den Schwerpunkt der Figur wie unten dargestellt zu berechnen:

Wie Sie sehen, kann die Figur in zwei Rechtecke aufgeteilt werden. Markieren wir zunächst auf der Figur die Lage der Schwerpunkte der beiden Rechtecke.

Wir können an jedem beliebigen Punkt ein Koordinatensystem annehmen. Es ist sinnvoll, ein solches System so zu wählen, dass die gesamte Figur im ersten Quadranten liegt, so dass die Koordinaten der Schwerpunkte jeder Figur positiv sind.

Bei der Berechnung der einzelnen Figuren beginnen wir mit den Flächen und statischen Momenten der einzelnen Rechtecke. Anschließend berechnen wir die Summen der statischen Momente für die gesamte Figur und ermitteln die Koordinaten des Schwerpunkts.

Wie man sieht, liegt die horizontale Position des Schwerpunkts auf der Symmetrieachse der Figur. Wenn die Figur eine Symmetrieachse hat, liegt der Schwerpunkt auf dieser Achse, und es ist nicht nötig, ihn zu berechnen.