Środek ciężkości figur płaskich

Środek ciężkości figur płaskich obliczamy z następujących wzorów:

gdzie Sx i Sy są momentami statycznymi względem osi x i y , A – to pole powierzchni figury.

Schemat figury, wszystkie obliczenia oraz wykresy figury z środkiem ciężkości są wygenerowane w moim Kalkulatorze Momentów Bezwładności. Możesz utworzyć dowolną figurę składającą się z figur prostych i wyznaczyć jej środek ciężkości.

Moment statyczny figur płaskich

Moment statyczny jest ważną wielkością w zagadnieniach związanych z wyznaczaniem środka ciężkości figur.

Dla dowolnej figury moment statyczny można obliczyć z następujących wzorów:

Dla figur składających się z figur prostych dla których znamy położenie środków ciężkości, momenty statyczne wyznaczymy bez używania całek (Ufff 😊).

Skorzystamy z następujących wzorów:

gdzie A, x i y to pole powierzchni oraz współrzędne środków ciężkości kolejnych figur.

Przykładowe obliczenie momentu statycznego dla prostokąta względem osi x przedstawia rysunek poniżej.

W naszym przykładzie środek ciężkości prostokąta jest nam znany i wynosi 0.5h. Jeśli pomnożymy tą odległość przez pole powierzchni prostokąta A, otrzymamy moment statyczny Sx.

Moment statyczny względem osi może przyjmować wartości dodatnie, zerowe i ujemne. Moment ma wartość równą 0 wtedy, gdy oś, względem której go wyznaczono, przechodzi przez geometryczny środek ciężkości figury.

Jednostką momentu statycznego w układzie SI jest [m3]

Jak podaje wikipedia :

Układ współrzędnych, dla którego osi momenty statyczne są równe 0, określany jest jako centralny, a jego osie osiami centralnymi.

Środek ciężkości nie musi znajdować się w obrębie pola figury. Przykładem może być ceownik.

Obliczanie środka ciężkości figury płaskiej

Gdy już znamy wszystkie wzory spróbujmy obliczyć środek ciężkości figury jak na rysunku poniżej:

Jak widzisz figurę możemy podzielić na dwa prostokąty. Zaznaczmy najpierw na rysunku położenie środków ciężkości każdego z prostokątów.

Układ współrzędnych możemy przyjąć w dowolnym punkcie. Warto przyjąć taki układ, aby cała figura znajdowała się w pierwszej ćwiartce, dzięki temu współrzędne środków ciężkości każdej figury będzie dodatni.

Przejdźmy do obliczeń poszczególnych wielkość, zaczniemy od pól powierzchni oraz momentów statycznych poszczególnych prostokątów. Następnie obliczymy sumy momentów statycznych dla całej figury i wyliczymy współrzędne środka ciężkości.

Jak widać położenie środka ciężkości w poziomie wypada w osi symetrii figury. Jeśli figura posiada oś symetrii środek ciężkości będzie się na niej znajdował i nie ma potrzeby jej wyliczania.