Dans cette entrée :

Etapes du calcul des réactions d'appui dans une poutre
Poutre en appui simple - calcul de la réaction
Poutre en porte-à-faux - Calcul des réactions

Procédé de calcul des réactions dans une poutre

Nous commençons par introduire des réactions de soutien appropriées au point d'appui. Pour plus d'informations à ce sujet, voir l'entrée Réactions de soutien.
Nous vérifions ensuite que la poutre est statiquement déterminée. Pour en savoir plus, voir l'entrée Détermination de l'état.
Dans l'étape suivante, nous écrivons les équations d'équilibre. Pour plus d'informations à ce sujet, voir l'entrée Equations d'équilibre.

Poutre en appui simple - Calcul des réactions d'appui pour les poutres

Commençons par prendre le système de coordonnées et supposons un élan positif dans le sens inverse des aiguilles d'une montre.

J'ai inclus ci-dessous un exemple de diagramme d'une poutre simplement soutenue. C'est ce que nous appelons une poutre soutenue par des supports articulés aux deux extrémités. Nous allons déterminer les réactions d'appui de cette poutre.

Dans le dessin de la poutre, les réactions ont déjà été ajoutées. Ainsi, au point A, nous avons un appui goupillé non glissant, nous ajoutons donc une réaction horizontale HA et une réaction verticale VA. Au point B, nous avons un appui glissant à l'extrémité de la poutre, nous ajoutons donc une réaction verticale VB. Ensuite, vérifions la déterminabilité statique.

N=R-J-3=3-0-3=0 - la poutre est statiquement déterminable
où:
N - degré d’hyperstaticité
R =3 - nombre de réactions de soutien
J =0 - nombre de joints internes
3 - le nombre d'équations d'équilibre. Dans les systèmes statiques, ce nombre est de 3

Il est temps de poser les équations d'équilibre. Rappelez-vous que pour un système de forces planes, nous avons trois équations :

$\F_{ix} = 0$ - somme des projections des forces sur l'axe des x

$\F_{iy} = 0$ - somme des projections des forces sur l'axe des y

$\M_{i} = 0$ - somme des moments en un point

Commençons par la première équation, la plus simple. La somme des projections des forces sur l'axe des x.

Étant donné que dans notre exemple de poutre simplement soutenue, aucune force n'agit dans la direction de l'axe x, la réaction HA=0.

Nous passons ensuite à la troisième équation, pour la somme des moments en un point.

Le choix du point est le vôtre. J'ai choisi le point A.

Pour déterminer les équations d'équilibre de la somme des moments, il est préférable de choisir le point où se trouve l'un des supports.

Dans notre exemple, nous avons le choix entre le point A et le point B. En choisissant l'un des supports, nous faisons en sorte que la réaction de ce support n'apparaisse pas dans notre équation du moment, car le moment est la force multipliée par le bras. Si le bras est nul (la force passe par notre point A), le moment de cette force sera également nul, et nous pouvons donc l'omettre de l'équation.

Dans l'équation, nous avons :

Réaction VB multipliée par une distance de 12 qui est la distance entre les points A et B.
La force F multipliée par 2, c'est-à-dire la distance de la force F par rapport au point A
Moment de flexion M. Le moment n'est pas multiplié par la distance.
La charge continue q multipliée par la longueur 4 sur laquelle elle agit et 6, qui est la distance du centre de q au point A.
Nous notons les signes des moments en fonction de ce que nous avons supposé au début dans la Fig.1

Après transformations, nous obtenons la valeur de la force VB, nous avons donc calculé la réaction du rail.

Enfin, nous écrirons l'équation d'équilibre pour les forces dans la direction de l'axe des y.

Dans l'équation, nous avons :

Réaction VA avec un signe positif, car le retour de la force VA est en ligne avec le retour de l'axe des y.
Réaction VB avec un signe positif, car le retour de force VA est en ligne avec le retour de l'axe des y.
La charge continue q multipliée par 4, c'est-à-dire la longueur sur laquelle elle agit
Force F avec un signe d'esquive, car le retour de la force F est opposé à l'axe des ordonnées.

Après transformations et substitution de la valeur de VB, on obtient la valeur de la force VA. Nous avons ainsi calculé toutes les réactions.

J'ai inclus la solution complète ci-dessous. Cette solution provient de mon calculatrice belec. Cette application vous permet de calculer les réactions, les forces de cisaillement et les moments de flexion pour toute poutre statiquement déterminable.

Poutre en porte-à-faux, retenue - Calcul des réactions d'appui pour les poutres

J'ai inclus un exemple de diagramme de poutre en porte-à-faux ci-dessous. C'est ce que nous appelons une poutre retenue à une extrémité. Nous allons déterminer les réactions de soutien pour cette poutre.

Dans le dessin de la poutre, les réactions ont déjà été ajoutées. Nous avons donc une contrainte au point A, nous ajoutons donc la réaction horizontale HA et la réaction verticale VA ainsi que le moment de contrainte MA. Ensuite, vérifions la déterminabilité statique.

Il est temps de poser les équations d'équilibre. Rappelez-vous que pour un système de forces planes, nous avons trois équations :

$\F_{ix} = 0$ - somme des projections des forces sur l'axe des x

$\F_{iy} = 0$ - somme des projections des forces sur l'axe des y

$\M_{i} = 0$ - somme des moments en un point

Comme précédemment, commençons par la première équation. La somme des projections des forces sur l'axe des x.

Dans l'équation, nous avons :

Réaction de l'AH avec un signe positif, car le retour de la force de l'AH est en ligne avec le retour de l'axe des x.
La composante horizontale de la force F avec un signe d'esquive, car la direction de la force F est opposée à l'axe des x.

Après transformations, on obtient la valeur de la force HA. Nous avons calculé la première réaction.

Nous écrirons ensuite l'équation d'équilibre pour les forces dans la direction de l'axe des y.

Dans l'équation, nous avons :

Réaction VA avec un signe positif, car le retour de la force VA est en ligne avec le retour de l'axe des y.
La charge continue q multipliée par 5, c'est-à-dire la longueur sur laquelle elle agit
La composante verticale de la force F avec un signe positif, car le retour de la force F est aligné sur l'axe des y.

Après transformations, on obtient la valeur de la force VA. Nous avons déjà les deux réactions calculées😊.

Enfin, nous passons à la troisième équation, pour la somme des moments en un point.

Le choix du point est le vôtre. J'ai choisi le point A. Comme pour une poutre simplement soutenue, il est bon de choisir un point où l'on a des réactions.

Nous obtenons l'équation suivante :

Dans l'équation, nous avons :

Moment de retenue MA comme réaction
La force Fsin45 multipliée par 5, qui est la distance de la force F par rapport au point A
Le moment de flexion M. Nous ne multiplions pas le moment par la distance. Moins parce qu'il est opposé à notre retour positif
La charge continue q multipliée par la longueur 5 sur laquelle elle agit et 12,5, qui est la distance du centre de q au point A.

Après transformations, on obtient la valeur du moment MA. Nous avons toutes les réactions déterminées. Super ! !!

J'ai inclus ci-dessous la solution complète avec Calculateur Belek