Berechnung von Trägern mit Gelenken - Aufgabenbeispiele

Unten in der Abbildung finden Sie einen Balken, den wir lösen werden. Der Balken hat eine innere Fuge.

Wir beginnen die Berechnung von Trägern, indem wir die statische Bestimmbarkeit für den Träger überprüfen. Weitere Informationen zum Nachweis der statischen Bestimmbarkeit finden Sie unter hier.

N=R-J-3=4-1-3=0
wo:
N - Grad der statischen Unbestimmtheit
R =4 - Anzahl der Stützreaktionen
J =1 - Anzahl der internen Verbindungen
3 - die Anzahl der Gleichgewichtsgleichungen. Bei statischen Systemen beträgt sie 3

Da wir bei der Bestimmung des Grades der statischen Bestimmbarkeit im Punkt B ein inneres Scharnier haben, ersetzen wir J durch 1. Das Ergebnis ist Null, der Träger ist also statisch bestimmbar. Im nächsten Schritt werden wir die Reaktionen aus den Gleichgewichtsgleichungen berechnen.

Das Trägerdiagramm, alle Berechnungen und Schnittkraftdiagramme werden in meinem Balkenrechner. Sie können Trägerdiagramme online erstellen und erhalten eine detaillierte Lösung für jeden statisch bestimmten Träger.

Wir berechnen die Reaktionen auf die gleiche Weise wie bei einem geraden Balken. Wegen des Gelenks schreiben wir eine zusätzliche Gleichgewichtsgleichung.

Die Summe der Momente um den Punkt B auf der rechten Seite ist Null. Das Scharnier erlaubt es uns, die Gleichung für das Biegemoment nur für eine der beiden Seiten des Trägers zu schreiben, entweder für die rechte oder die linke. Die Wahl bleibt uns überlassen. In diesem Beispiel ist es vorzuziehen, die rechte Seite zu wählen.

Nachdem nun die Reaktionen berechnet wurden, können wir zur Bestimmung von interne Kräfte in Fächern.

Bei einem gelenkigen Balken gehen wir genau so vor wie bei einem geraden Balken. In dem hier behandelten Beispiel haben wir drei Kammern. Die Ermittlung der Querkräfte und Biegemomente finden Sie in der folgenden Abbildung.

Beachten Sie, dass das Biegemoment in der Fuge am Punkt B gleich Null ist. Das liegt daran, dass ein Gelenk per Definition kein Biegemoment überträgt, so dass ein Biegemoment von Null am Gelenk immer die Aufgabe eines Trägers mit einem Gelenk erfüllen sollte.

Nachdem die Querkräfte und Biegemomente an den charakteristischen Punkten bestimmt wurden, können wir mit dem Zeichnen der Diagramme fortfahren.

Damit ist die Lösung des Beispiels eines Trägers mit einer inneren Verbindung abgeschlossen.

Beispiel einer Mehrfeldträgerlösung

Als weiteres Beispiel werden wir einen Träger mit zwei Gelenken lösen. Das Verfahren ist dasselbe wie bei einem Balken mit einem Gelenk. Der Unterschied besteht darin, dass wir die Gleichgewichtsgleichungen schreiben. In diesem Fall haben wir eine weitere Gleichung.

Die statische Bestimmbarkeitsprüfung für einen solchen Balken lautet wie folgt.

N=R-J-3=5-2-3=0
wo:
N - Grad der statischen Unbestimmtheit
R =5 - Anzahl der Stützreaktionen
J =2 - Anzahl der internen Verbindungen
3 - die Anzahl der Gleichgewichtsgleichungen. Bei statischen Systemen beträgt sie 3

Da wir bei der Bestimmung des Grades der statischen Bestimmbarkeit in den Punkten B und D ein inneres Scharnier haben, ersetzen wir J durch "2". Das Ergebnis ist Null, der Träger ist also statisch bestimmbar. Im nächsten Schritt werden wir die Reaktionen aus den Gleichgewichtsgleichungen berechnen.

Wir führen die Berechnung der Reaktionen auf die gleiche Weise durch wie bei einem geraden Balken. Wegen der Scharniere schreiben wir zwei zusätzliche Gleichgewichtsgleichungen.

Wie bei einem Balken mit einem einzigen Gelenk können wir die Seite wählen, in Bezug auf die wir das Biegemoment im Gelenk bestimmen. In diesem Beispiel ist die linke Seite vorzuziehen. Sowohl für das Gelenk B als auch für das Gelenk im Punkt D.

Nachdem nun die Reaktionen berechnet wurden, können wir zur Bestimmung von interne Kräfte in Fächern.

Bei einem gelenkigen Balken verfahren wir genau so wie bei einem geraden Balken. In diesem Beispiel haben wir sogar sechs Kammern. Die Scherkräfte und Biegemomente finden Sie in der Abbildung unten.

Beachten Sie, dass das Biegemoment in der Fuge am Punkt B und in der Fuge D gleich Null ist. Das liegt daran, dass ein Gelenk per Definition kein Biegemoment überträgt, so dass ein Biegemoment von Null am Gelenk bei Balkenaufgaben mit einem Gelenk immer herauskommen sollte.

Schließlich werden die Verläufe von Querkräften und Biegemomenten in Form von Diagrammen ermittelt.