Egyensúlyi egyenletek

Ebben a bejegyzésben a következő információkat találja:

Mik az egyensúlyi egyenletek?
Egyensúlyi egyenletek egy síkbeli erőrendszerre (2D)
Egy térbeli erőrendszer egyensúlyi egyenletei (3D)

Az egyensúlyi egyenletek egy egyensúlyban lévő test állapotának leírására szolgálnak. Az ilyen test nem változtatja meg a helyzetét, azaz nyugalomban van.

A nyugalomban lévő testre ható erők és nyomatékok összegének egyensúlyban kell lennie, ezt matematikailag a következőképpen írjuk le:

$\F_{ix} = 0$ - az erők x tengelyre vetített vetületeinek összege

$\F_{iy} = 0$ - az erők y tengelyre vetített vetületeinek összege

$\M_{i} = 0$ - egy ponton mért pillanatok összege

Síkbeli rendszer (2D) - egyensúlyi egyenletek

A fenti egyenletek a következőkre vonatkoznak lapos energiaellátó rendszer. Ezeket a gerendák, keretek és rácsszerkezetek reakcióinak meghatározására használjuk. Az ilyen típusú elemek a statika alapvető kérdései. Az ilyen feladatokban azt akarjuk, hogy az elemek nyugalomban maradjanak. Ha a testek mozognak, akkor a mechanika más ágairól beszélünk, mint például a kinematika vagy a dinamika.

Egy sík rendszerben egy test mozoghat x és y irányban, és foroghat a felénk néző z tengely körül. Sík rendszerben egy testnek 3 szabadsági foka van. És ahhoz, hogy egy test nyugalomban maradjon, ezt a 3 szabadságfokot egyensúlyban kell tartanunk. Erre a célra használjuk az egyensúlyi egyenleteket. Ha az x és y erők egyensúlya és a nyomatékok összege nulla, akkor ez azt jelenti, hogy a test nem mozog vagy forog.

A lapos rendszer egy speciális típusa a következő lapos konvergáló erő rendszer (más néven központi rendszer). Ez egy olyan rendszer, amelynek erői egyetlen pontban metszik egymást. Ebben a pontban konvergálnak. Egy ilyen rendszer esetében az egyensúlyi feltétel csak két egyenletből áll:

$\F_{ix} = 0$ - az erők x tengelyre vetített vetületeinek összege

$\F_{iy} = 0$ - az erők y tengelyre vetített vetületeinek összege

Térbeli rendszer (3D) - egyensúlyi egyenletek

A térbeli elrendezésnek kicsit több szabadságfoka van. Akár hat is lehet. Minden egyes szabadsági fokhoz van egy-egy egyensúlyi egyenletet leíró egyenletünk. Tehát hat egyenletet kapunk. Azokban a feladatokban, ahol térbeli rendszerekben határozzuk meg a támadási reakciókat, a megoldás megtalálása nehezebb, mert hat egyenlet van.

$\F_{ix} = 0$ - az erők x tengelyre vetített vetületeinek összege

$\F_{iy} = 0$ - az erők y tengelyre vetített vetületeinek összege

$\F_{iz} = 0$ - az erők z tengelyre vetített vetületeinek összege