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Wie lauten die Gleichgewichtsgleichungen?
Gleichgewichtsgleichungen für ein ebenes Kräftesystem (2D)
Gleichgewichtsgleichungen für ein räumliches Kräftesystem (3D)

Die Gleichungen des Gleichgewichts werden verwendet, um den Zustand eines Körpers zu beschreiben, der sich im Gleichgewicht befindet. Ein solcher Körper ändert seine Position nicht, d. h. er ruht.

Die Summe aller Kräfte und Momente, die auf einen ruhenden Körper wirken, muss sich ausgleichen, was wir mathematisch wie folgt beschreiben:

$\F_{ix} = 0$ - Summe der Projektionen der Kräfte auf die x-Achse

$\F_{iy} = 0$ - Summe der Projektionen der Kräfte auf die y-Achse

$\M_{i} = 0$ - Summe der Momente in einem Punkt

Ebenes System (2D) - Gleichgewichtsgleichungen

Die obigen Gleichungen gelten für Flachleistungssystem. Wir verwenden sie, um die Reaktionen von Trägern, Rahmen und Fachwerken zu bestimmen. Diese Arten von Elementen sind grundlegende Fragen der Statik. Bei solchen Aufgaben wollen wir, dass die Elemente in Ruhe bleiben. Wenn die Körper in Bewegung sind, sprechen wir von anderen Zweigen der Mechanik wie Kinematik oder Dynamik.

In einem ebenen System kann sich ein Körper in x- und y-Richtung bewegen und sich um die uns zugewandte z-Achse drehen. In einem ebenen System hat ein Körper 3 Freiheitsgrade. Und damit ein Körper in Ruhe bleibt, müssen wir diese 3 Freiheitsgrade ausgleichen. Zu diesem Zweck verwenden wir die Gleichgewichtsgleichungen. Wenn das Gleichgewicht der x- und y-Kräfte und die Summe der Momente gleich Null ist, bedeutet dies, dass sich der Körper nicht bewegt oder dreht.

Eine besondere Art von Flächensystemen ist Flachkonvergenzsystem (auch als zentrales System bezeichnet). Es handelt sich um ein System, bei dem sich die Kräfte in einem einzigen Punkt kreuzen. Sie konvergieren in diesem Punkt. Für ein solches System besteht die Gleichgewichtsbedingung aus nur zwei Gleichungen:

$\F_{ix} = 0$ - Summe der Projektionen der Kräfte auf die x-Achse

$\F_{iy} = 0$ - Summe der Projektionen der Kräfte auf die y-Achse

Räumliches System (3D) - Gleichgewichtsgleichungen

Die räumliche Anordnung hat ein wenig mehr Freiheitsgrade. Es gibt bis zu sechs. Für jeden Freiheitsgrad haben wir eine Gleichung, die die Gleichgewichtsgleichung beschreibt. Wir erhalten also sechs Gleichungen. Bei Aufgaben, bei denen wir Unterstützungsreaktionen in räumlichen Systemen bestimmen, ist es schwieriger, die Lösung zu finden, weil es sechs Gleichungen gibt.

$\F_{ix} = 0$ - Summe der Projektionen der Kräfte auf die x-Achse

$\F_{iy} = 0$ - Summe der Projektionen der Kräfte auf die y-Achse

$\F_{iz} = 0$ - Summe der Projektionen der Kräfte auf die z-Achse