Ebben a bejegyzésben:

1. Mik a belső erők és a belső erők típusai
2. Belső erők meghatározása egy gerenda esetében
3. Belső erődiagramok.

A gerendák belső erői és azok típusai

A gerendák belső erőinek magyarázatához a gondolati metszésmódot fogom használni. Az alábbi 1. ábrán egy hidat látunk, amelyet két végén tűzött támaszok támasztanak alá. A támaszokon reakciókat vezetünk be, és az egész rendszer egyensúlyban van.

Ha most gondolatban kettévágnánk a hidat?

Belső erők bevezetése nélkül a kereszteződésben a híd össze fog omlani, és a szarvasunk a vízbe fog esni😊.

Ezért ahhoz, hogy a híd két része egyensúlyban legyen, a hídszakaszok kölcsönhatását belső erők alkalmazásával kell helyettesítenünk.

A következő belső (keresztmetszeti) erőket különböztetjük meg:

• N - normál erő (axiális, hosszirányú) - egy gerendában a gerenda tengelyével párhuzamos, vízszintes x irányban ható erő.
• V - vágóerő ( keresztirányú) - egy gerendánál a gerenda tengelyére merőlegesen, y függőleges irányban ható erő.
• M - hajlítónyomaték

Belső erők meghatározása egy gerenda esetében

Térjünk rá a gerenda belső erőinek meghatározására. Ezt egy egyszerűen alátámasztott gerenda példáján keresztül végezzük el

Az 1-3-as számok a tartományokat jelzik.

Egy rekesz akkor kerül hozzáadásra, ha új teher vagy támasz jelenik meg.

A belső erők meghatározását az egyes rekeszek esetében sorban végezzük el. Mielőtt elkezdenénk az erők meghatározását, először is meg kell beszélnünk a belső erők jelölését

A fenti ábra a normálerő, a nyíróerő és a hajlítónyomaték jelölését mutatja. Az így irányított vektorok pozitív előjelűek, és ezt kell megjegyeznie. Az ellentétes irányú vektorok negatív előjelűek. Mint látható, ez a gerenda bal és jobb oldalán eltérő.

Ne feledje, hogy a reakció meghatározásakor alkalmazott hajlítónyomaték előjele eltérhet a belső erőknél alkalmazottól. Azt tanácsolom, hogy a hajlítónyomaték-jelek elfogadásának két szakaszát tartsa külön.

Ezenkívül a hajlítónyomaték pozitív előjelének társításaként egy mosolygó arccal ( a gerenda hajlított végei mosolyt keltenek). A negatív előjel pedig egy szomorú arcot hoz létre.

Elsősorban, mielőtt a számítás megkezdődne, a belső erők ellenőriznünk kell statikus meghatározhatóság és kiszámítja támogató reakciók .

A rendszer statikusan meghatározható - továbbléphetünk a reakciók kiszámításához.

Az egyensúlyi egyenletek segítségével kiszámítjuk az alábbi értékeket támogató reakciók egy egyszerűen alátámasztott gerenda esetében.

A gerenda helyesen meghatározott támaszreakciói esetén szabadon támogatott , folytathatjuk a belső erők kiszámítását az egyes rekeszek esetében.

A gerendadiagramot és az összes számítást az én Gerenda Kalkulátor. Segítségével részletes megoldást kaphat bármely statikailag meghatározott gerendára.

1. rekesz

Az első intervallum esetében x 0 és 2 m között kell lennie. Kékkel jelöltem jelölési elrendezés vágási és normál erők a bal oldali szakaszra.

Normál erő N:

Ami az N1(x) erőt illeti az első intervallumban, az -HA (a HA visszatérése ellentétes a mi jelrendszerünkkel, ezért a mínusz jel), ami az érték behelyettesítését követően 10 [kN] értéket ad. Az érték pozitív, tehát a szakasz nyújtásáról van szó. Mint látható, az N1(x) jelölést használom, ami azt jelenti, hogy N1 az x függvénye. Bármilyen x-et beilleszthetünk 0 és 2 között, és megkapjuk a normálerő eredményét erre az x-koordinátára.

A belső erődiagramok rajzolásához kiszámítjuk a jellemző pontokat, azaz az intervallum kezdetét és végét.

Vágóerő V:

A V1(x) vágóerő VA (pozitív előjelű, a vágóerő jelölésével összhangban lévő visszatérés). A vágóerőnek a teljes intervallumon állandó értéke van. Va behelyettesítését követően V1=-5,3 [kN].

Hajlítónyomaték Mg:

A gerendák megoldásának legfontosabb lépése a hajlítónyomatékok meghatározása. Ez egyben a gerendák megoldásának legnehezebb része is.

A hajlítónyomaték a Va*x függvénye. Mint tudjuk, a nyomaték az erő és a kar szorzata. Az erő a vágóerő - a kar a mi x-ünk. Minél távolabb vagyunk az A támasztól, annál nagyobb a VA reakcióból eredő nyomaték. Az x helyettesítését követően az M1(0)=0 intervallum kezdete és az M1(2) = -10,6 [kNm] intervallum vége.

Ha a gerenda elején vagy végén nincs alkalmazott koncentrált nyomaték a hajlítónyomaték értéke mindig nulla lesz

Az első rekesz már kirajzolódott. Lépjünk tovább a következőre.

2. rekesz

Gyakran kérdezik, hogy az első rekeszben lévő erőket is be kell-e vonnom, vagy hagyjam ki? A válasz a következő:

Az egyes egymást követő rekeszekben fellépő erőket leíró egyenletek a következők mindent figyelembe veszünk, ami a bár kezdetétől fogva történik, azaz az egyes megelőző intervallumok erőit is figyelembe vesszük.

A második tartományban az x-nek 2 és 6 m között kell lennie.

Kékkel jelöltem a nyíró- és normálerők jelölésének elrendezését a bal oldali szakaszra.

Normál erő N:

Mivel a második intervallumban az N2(x) erőre az F2 erőt kivonjuk az előző intervallumban lévő értékből, -HA-F2-t kapunk. Az értékek behelyettesítését követően 0 [kN] értéket kapunk, azaz ebben az intervallumban nincs normálerő.

Vágóerő V:

A V2(x) vágóerő VA-hoz képest megkapjuk F1 A vágóerő értéke a teljes intervallumban állandó, Va behelyettesítését követően V2= 2,7 [kN].

Hajlítónyomaték Mg:

Va*x-ra F1*(x-2) kapjuk, az F1-ből származó pillanat előjele pozitív. X mínusz 2m, azaz annyi, amennyire az F1 erő a gerendánk origójától távolodik. Az F1 erő tényleges karja (x-2). Az x helyettesítését követően az intervallum eleje M2(2)= -10,6 [kNm] és az intervallum vége M2(6) = 0,2 [kNm].

3. rekesz

Az utolsó tartományban az x-nek 6 és 10 m között kell lennie.

Kékkel jelöltem a nyíró- és normálerők jelölésének elrendezését a bal oldali szakaszra.

Normál erő N:

Az N3(x) erő megegyezik az N2 erővel, semmi sem változik.

Vágóerő V:

A V3(x) nyíróerőre vonatkozó képletben a q folyamatos terhelést megszorozzuk azzal a hosszal, amelyen keresztül a terhelés fellép, azaz az (x-6) intervallummal. Az intervallum kezdetének x-sel való behelyettesítését követően V3(6)= 2,7 [kN], az intervallum végén pedig V3(10)= -5,3 [kN].

Hajlítónyomaték Mg:

A nyomaték egyenletében mindez a 2. intervallumban van. Ezen kívül hozzáadjuk M-et és kivonjuk a nyomaték értékét a q folyamatos terhelésből. Ezt az értéket g-vel megszorozzuk (x-6), ami az erőt adja, és megszorozzuk 0,5*(x-6), ami az erő karja. Az előjel negatív, mert a g-ből származó nyomaték a feltételezett pozitív előjelű nyomatékunkkal ellentétesen fog hatni. Az x helyettesítését követően az M3(6)= 5,2 [Nm] és az M3(10) = 0 [Nm] intervallum eleje.

Ezzel befejeztük a gerendánkban lévő belső erők meghatározását. A kapott eredmények alapján az alábbi 12. ábra szerinti grafikonokat rajzoltuk. De erről a következő bejegyzésben.

Köszönöm, a következő bejegyzésig.