В этой статье вы узнаете, как рассчитать усилия в элементах статически определимой фермы с помощью метода балансировки узлов.

Метод балансировки узлов
Руководство по решению ферм
Метод балансировки узлов - пример решения задачи

Метод балансировки узлов

Метод балансировки (разделения) узлов является одним из методов, используемых для решения задач о фермах. Этот аналитический метод многие считают самым простым, но в то же время трудоемким, требующим большого количества вычислений, особенно если ферма имеет большое количество узлов и элементов.

Другие методы включают:

Метод Риттера - аналитико-диагностический
Метод Кремоны - черчение

Этот метод предполагает вычисление нормальных сил в элементах фермы путем последовательного разделения узлов (т.е. точек, где элементы соединяются вместе).

Важно, чтобы узел, который мы вычисляем, имел значение максимум два стержня для которых нам неизвестны нормальные силы. Поскольку у нас есть два уравнения равновесия (горизонтальные силы и вертикальные силы), мы можем вычислить до двух неизвестных сил из этих уравнений.

Руководство по решению ферм

Ниже вы найдете рецепт, инструкции в пунктах для решения фермы:

Обозначение узлов - последовательные числа (1,2,3...) или буквы алфавита (A,B,C...)
Обозначение стержня - обычно последовательные цифры (1,2,3...)
Определение реакций в опорах
Расчет реакций поддержки по уравнениям равновесия (Fx, Fy, Mi)
Разделение узлов и расчет сил в стержнях по уравнениям равновесия (Fx, Fy)
Проверка последнего узла - необязательно
Сводная таблица (номер бара -> нормальная сила)
Построение диаграммы фермы с нанесенными значениями сил в брусьях

Метод балансировки узлов - пример решения задачи

Ниже я привел схему фермы, которую мы будем решать. Ферма состоит из 6 узлов и 9 стержней. Она нагружена тремя сосредоточенными силами P1=2 кН, P2=6 кН и P3=3 кН.

Я обозначил узлы номерами от 1 до 6. В опорах я добавил силы реакции опоры R1 для скользящей поворотной опоры в узле 1. H4 и V4 для не скользящей поворотной опоры в узле 4. В качестве напоминания, вы найдете типы опор и реакции опор в этом разделе вход

На следующем этапе мы рассчитаем реакции поддержки на основе трех уравнений равновесия.

Все примеры, используемые в этом посте, были созданы в моем Калькулятор ферм. В этом приложении вы определите опорные реакции и нормальные силы в элементах фермы. Пошаговые расчеты, чертежи сил в каждом узле и аналитический расчет. Не стесняйтесь попробовать

Рассчитав значения опорных реакций, мы можем приступить к следующему шагу - разделению узлов. В нашем случае мы начнем с узла № 1. В этом узле у нас есть два неизвестных бруса N1-5 и N1-2. Угол в 45 градусов обусловлен геометрией системы брусьев.

Узел 1

На рисунке выше показана диаграмма сил для узла 1 и расчет сил в стержнях 1-2 и 1-5. Эти силы вычисляются из условий равновесия сумма горизонтальных проекций силы и сумма вертикальных проекций сил должна быть равна нулю. Брусок 1-2 находится в напряжении, потому что значение силы положительно. Напротив, брусок 1-5 сжат, потому что значение силы отрицательно.

Следующий узел, который мы рассмотрим, - узел 4. В этом узле у нас также есть две неизвестные силы для брусьев 4-3 и 4-6. Мы также используем условия равновесия - сумму проекций горизонтальных сил и сумму проекций вертикальных сил.

Узел 4

При построении сил для последовательных узлов помните о реакциях или внешних силах, приложенных к узлу. Частая ошибка в решениях по балансировке узлов заключается в том, что эти силы опускаются.

Аналогично поступаем с последующими узлами, помня, что максимальное количество неизвестных сил в стержне равно двум.

Узел 3

Узел 2

Узел 5

После того как все нормальные силы в брусьях рассчитаны, составляем таблицы с комбинацией сил в брусьях - режим работы растяжение/сжатие.

Кроме того, неплохо бы нарисовать всю схему фермы с указанием значений сил в элементах. Красным цветом обозначены растягивающие элементы, синим - сжимающие. Черный цвет - нулевые стержни, если таковые имеются.