Dans cette entrée :
- Méthode de solution pour les tâches statiquement indéterminées
- Exemple de solution à une tâche de force concentrée
- Exemple de solution d'une tâche à charge continue
La contrainte normale induite par les forces de traction et de compression dans une barre prismatique a été discutée dans l'entrée Tension et compression. Dans ce billet, nous avons traité des exemples statiquement déterminables, c'est-à-dire des exemples où nous n'avions qu'une seule réaction de soutien et où nous pouvions la déterminer à partir de la condition d'équilibre.
Tâches statiquement indéterminées
Nous allons maintenant examiner des exemples un peu plus difficiles, c'est-à-dire statiquement non déterminants. Il s'agit de tâches dans lesquelles la barre est fixée à ses deux extrémités (on pourrait dire qu'elle est prise en sandwich entre deux murs non glissants). Dans ce cas, nous avons deux forces de réaction inconnues de ces contraintes et une seule équation d'équilibre, c'est pourquoi nous parlons d'exemples statiquement non équivoques.
Equations d'équilibre
Conditions géométriques
Dans ce cas, nous utilisons des condition géométrique. Cette condition stipule que l'allongement total de la barre doit être nul. Comme les deux extrémités de la barre ne peuvent pas bouger (elles sont retenues), la déformation totale de notre système est égale à "0".
Il se peut que vous rencontriez des tâches où la barre est positionnée verticalement. Cela n'a pas d'importance en termes de méthode de résolution, nous suivons exactement la même voie.
Lorsqu'il s'agit du nombre de fragments en lesquels nous divisons notre bar, deux facteurs entrent en ligne de compte :
- changement de charge - force supplémentaire ou charge continue
- modification de la section transversale ou de la rigidité du matériau (module de Young)
Ces deux facteurs influencent l'ampleur de la déformation de notre barre.
Tension statiquement indéterminée - Tâches
Exemple de solution à une tâche de force concentrée
Comme premier exemple, nous allons résoudre une tâche avec une barre chargée par une seule force concentrée. La barre sera composée de deux parties ayant des sections transversales différentes. La tâche sera résolue à l'aide de symboles sans données numériques, ce qui est courant dans ce domaine.
| Tous les exemples utilisés dans ce billet ont été créés et calculés dans mon Calculateur d'étirement. Je vous invite à essayer l'application, avec son aide vous déterminerez les forces normales, la contrainte normale et l'allongement ou le raccourcissement de la barre. |
La figure ci-dessus montre l'exemple que nous allons résoudre. Commençons par désigner les réactions en Ra et Rb dans les supports. Pour rappel, l'expression des réactions est arbitraire et c'est à nous de décider comment les prendre.
Dans l'étape suivante, nous écrivons l'équation d'équilibre pour les forces dans la direction horizontale et la condition géométrique. Dans notre cas, nous aurons deux intervalles entre A et l'application de la force F et entre le point d'application de la force F et le point B. Nous calculons ensuite les formules pour les allongements de la section L1 et L2. Après avoir substitué les quantités connues pour les forces N1 et N2 dans les intervalles respectifs et le produit de E et A et avoir assimilé le total à zéro, nous sommes en mesure de calculer la réaction Ra. Ensuite, après avoir substitué la réaction Ra à la condition d'équilibre, nous obtenons Rb.
Dans l'étape suivante, maintenant que nous connaissons la valeur des réactions d'appui, nous pouvons déterminer les forces normales (axiales), les contraintes normales et la déformation pour chaque compartiment. Cette étape du calcul est déjà décrite dans l'entrée Tension et compression.
Connaissant toutes les quantités, nous pouvons tracer des graphiques montrant l'évolution de ces quantités pour chaque intervalle. Les graphiques sont inclus dans la figure ci-dessous.
Exemple de solution d'une tâche à charge continue
L'exemple suivant est celui d'une barre soumise à une charge continue de q=4 kN/m. La barre sera composée de deux parties ayant des sections transversales différentes. Cette fois, la tâche sera résolue à partir de données numériques.
La tâche sera également résolue avec Calculateur d'étirement pour résoudre ce type de tâche.
La figure ci-dessus montre l'exemple que nous allons résoudre. Commençons par indiquer les réactions en Ra et Rb dans les supports. Comme vous pouvez le voir, la barre est positionnée verticalement pour vous montrer comment résoudre une telle tâche et comment dessiner des diagrammes.
Dans l'étape suivante, nous écrivons l'équation d'équilibre et ajoutons une condition géométrique. Dans notre cas, nous aurons deux intervalles entre A et le début de la charge q et entre ce point et le point B.
Nous élaborons ensuite les formules pour les allongements des segments L1 et L2. Après avoir substitué les quantités connues pour les forces N1 et N2 dans les intervalles correspondants. Comme vous pouvez le voir dans le deuxième compartiment, où la charge est continue, nous utilisons l'intégrale du quotient de la force normale par le produit du module d'Young et de la surface de la section transversale pour déterminer l'allongement.
Après avoir résolu cette expression, nous obtenons la réaction Ra. Ensuite, après avoir substitué la réaction Ra dans la condition d'équilibre, nous obtenons Rb.
Dans l'étape suivante, maintenant que nous connaissons la valeur des réactions d'appui, nous pouvons déterminer les forces normales (axiales), les contraintes normales et la déformation pour chaque compartiment. Cette étape du calcul est déjà décrite dans l'entrée Tension et compression.
Connaissant toutes les quantités, nous pouvons tracer des graphiques montrant l'évolution de ces quantités pour chaque intervalle. Les graphiques sont inclus dans la figure ci-dessous.
Comme on peut le voir, l'allongement à l'extrémité de la barre est nul, ce qui confirme que nous avons bien résolu la tâche. Ceci conclut l'entrée Compression statique tension indéterminée - tâches.