In dit item:
- Oplossingsmethode voor statisch onbepaalde taken
- Voorbeeld van een oplossing voor een geconcentreerde krachttaak
- Voorbeeldoplossing van een taak met continue belasting
De normaalspanning veroorzaakt door trek- en drukkrachten in een prismatische staaf werd besproken in het artikel Spanning en compressie. In deze post behandelden we statisch bepaalbare voorbeelden, dat wil zeggen voorbeelden waarbij we slechts één steunreactie hadden en deze konden bepalen uit de evenwichtstoestand.
Statisch onbepaalde taken
We zullen nu kijken naar voorbeelden die iets moeilijker zijn, namelijk statisch niet-determinant. Dit zijn opgaven waarbij de staaf aan beide uiteinden gefixeerd is (je zou kunnen zeggen dat hij ingeklemd zit tussen twee niet-schuivende wanden). In dit geval hebben we twee onbekende reactiekrachten van deze bindingen en slechts één evenwichtsvergelijking, dus daarom spreken we van statisch niet-equivalente voorbeelden.
Evenwichtsvergelijkingen
Geometrische voorwaarde
In dit geval gebruiken we een extra geometrische toestand. Deze voorwaarde stelt dat de totale rek van de staaf nul moet zijn. Aangezien beide uiteinden van de staaf niet kunnen bewegen (ze zijn geblokkeerd), is de totale vervorming van ons systeem gelijk aan „0”.
Je kunt opgaven tegenkomen waarbij de balk verticaal staat. Het maakt niet uit wat de oplossingsmethode is, we volgen precies dezelfde weg.
Als het gaat om het aantal fragmenten waarin we onze bar verdelen, zijn twee factoren van belang:
- verandering van belasting - extra kracht of continue belasting
- verandering in doorsnede of stijfheid van het materiaal (elasticiteitsmodulus)
Beide factoren beïnvloeden de mate van vervorming van onze staaf.
Statisch onbepaalde spanning - Taken
Voorbeeld van een oplossing voor een geconcentreerde krachttaak
Als eerste voorbeeld zullen we een opgave oplossen met een staaf die belast wordt door een enkele geconcentreerde kracht. De staaf bestaat uit twee delen met een verschillende doorsnede. De opgave wordt opgelost met symbolen zonder numerieke gegevens, wat gebruikelijk is in dit opgavenonderwerp.
| Alle voorbeelden die in dit bericht worden gebruikt, zijn gemaakt en berekend in mijn Rekenmachine voor uitrekken. Ik nodig je uit om de app uit te proberen, met zijn hulp kun je de normaalkrachten, de normaalspanning en de rek of verkorting van de staaf bepalen. |
De figuur hierboven toont het voorbeeld dat we zullen oplossen. Laten we beginnen met het aanduiden van de reacties in Ra en Rb in de dragers. Ter herinnering, de uitdrukking van de reacties is willekeurig en we beslissen zelf hoe we ze nemen.
In de volgende stap schrijven we de evenwichtsvergelijking voor de krachten in horizontale richting en de geometrische conditie. In ons geval hebben we twee intervallen van A tot de toepassing van kracht F en van het punt van toepassing van kracht F tot punt B. Vervolgens werken we de formules uit voor de elongaties van de doorsneden L1 en L2. Na het substitueren van de bekende hoeveelheden voor de krachten N1 en N2 in de respectieve intervallen en het product van E en A en het gelijkstellen van het totaal aan nul, zijn we in staat om de reactie Ra te berekenen. Dan, na substitutie van de reactie Ra in de evenwichtsvoorwaarde, verkrijgen we Rb.
In de volgende stap, nu we de waarde van de ondersteuningsreacties weten, kunnen we de normaalkrachten (axiaal), de normaalspanningen en de rek voor elk compartiment bepalen. Deze fase van de berekening is al beschreven in het item Spanning en compressie.
Nu we alle grootheden kennen, kunnen we grafieken tekenen die de verandering in deze grootheden voor elk interval laten zien. De grafieken zijn opgenomen in de figuur hieronder.
Voorbeeldoplossing van een taak met continue belasting
Het volgende voorbeeld dat we zullen onderzoeken is een opgave met een staaf met een continue belasting van q=4 kN/m. De staaf bestaat uit twee delen met een verschillende doorsnede. Deze keer wordt de opgave opgelost met numerieke gegevens.
De taak wordt ook opgelost met Rekenmachine voor uitrekken om dit soort taken op te lossen.
De figuur hierboven toont het voorbeeld dat we zullen oplossen. Laten we beginnen met het aangeven van de reacties in Ra en Rb in de steunpunten. Zoals je kunt zien, is de balk verticaal geplaatst om je te laten zien hoe je zo'n opgave oplost en hoe je grafieken tekent.
In de volgende stap schrijven we de evenwichtsvergelijking en voegen we een geometrische voorwaarde toe. In ons geval hebben we twee intervallen van A naar het begin van de belasting q en van dit punt naar punt B.
Vervolgens werken we de formules uit voor de rek van de segmenten L1 en L2. Na het substitueren van de bekende grootheden voor de krachten N1 en N2 in de corresponderende intervallen. Zoals je kunt zien in het tweede compartiment, waar sprake is van een continue belasting, gebruiken we de integraal van het quotiënt van de normaalkracht door het product van de elasticiteitsmodulus en de doorsnede om de rek te bepalen.
Na het oplossen van deze uitdrukking verkrijgen we de reactie Ra. Na substitutie van de Ra-reactie in de evenwichtsvoorwaarde verkrijgen we Rb.
In de volgende stap, nu we de waarde van de ondersteuningsreacties weten, kunnen we de normaalkrachten (axiaal), de normaalspanningen en de rek voor elk compartiment bepalen. Deze fase van de berekening is al beschreven in het item Spanning en compressie.
Nu we alle grootheden kennen, kunnen we grafieken tekenen die de verandering in deze grootheden voor elk interval laten zien. De grafieken zijn opgenomen in de figuur hieronder.
Zoals te zien is, is de rek aan het einde van de staaf nul, wat bevestigt dat we de opgave goed hebben opgelost. Dit is het einde van het onderdeel Compressieve statische onbepaalde spanning - opgaven.