В этой записи:

Метод решения статически неопределимых задач
Пример решения задачи с концентрацией сил
Пример решения задачи с непрерывной нагрузкой

Нормальное напряжение, вызванное растягивающими и сжимающими усилиями в призматическом брусе, обсуждалось в записи Натяжение и сжатие. В этой заметке мы рассмотрели статически определимые примеры, то есть примеры, в которых у нас есть только одна опорная реакция и мы можем определить ее из условия равновесия.

Статически неопределимые задачи

Теперь мы рассмотрим примеры, которые немного сложнее, то есть статически недетерминированные. Это задачи, в которых брус закреплен на обоих концах (можно сказать, что он зажат между двумя не скользящими стенками). В этом случае у нас есть две неизвестные силы реакции этих ограничителей и только одно уравнение равновесия, поэтому мы и говорим о статически неравновесных примерах.

Уравнения равновесия

Геометрическое условие

В этом случае мы используем дополнительные геометрическое условие. Это условие гласит, что полное удлинение бруса должно быть равно нулю. Поскольку оба конца бруса не могут двигаться (они зажаты), значит, полная деформация нашей системы равна „0”.

Вам могут встретиться задачи, в которых полоса расположена вертикально. Это не имеет значения с точки зрения метода решения, мы следуем точно так же.

Когда речь заходит о количестве фрагментов, на которые мы делим наш бар, важны два фактора:

изменение нагрузки - дополнительная сила или постоянная нагрузка
изменение площади поперечного сечения или жесткости материала (модуль Юнга)

Оба эти фактора влияют на степень деформации нашего бруса.

Статически неопределимое напряжение - Задачи

Пример решения задачи с концентрацией сил

В качестве первого примера мы решим задачу с бруском, нагруженным единой сосредоточенной силой. Брус будет состоять из двух частей с разными площадями поперечного сечения. Задача будет решаться на символах без числовых данных, что характерно для данной тематики задач.

Все примеры, использованные в этом посте, были созданы и рассчитаны в моем Калькулятор растяжения. Приглашаю вас опробовать приложение, с его помощью вы определите нормальные силы, нормальные напряжения и удлинение или укорочение бруса.

На рисунке выше показан пример, который мы будем решать. Начнем с обозначения реакций Ra и Rb в опорах. Напомним, что выражение реакций произвольно, и мы сами решаем, как их взять.

На следующем этапе мы напишем уравнение равновесия для сил в горизонтальном направлении и геометрического условия. В нашем случае мы будем иметь два отрезка от точки A до места приложения силы F и от точки приложения силы F до точки B. Затем мы выведем формулы для удлинений отрезков L1 и L2. Подставив известные величины для сил N1 и N2 в соответствующие интервалы и произведение E и A и сведя итог к нулю, мы можем вычислить реакцию Ra. Затем, подставив реакцию Ra в условие равновесия, мы получим Rb.

На следующем этапе, когда мы знаем значение опорных реакций, мы можем определить нормальные (осевые) силы, нормальные напряжения и деформации для каждого отсека. Этот этап расчета уже описан в записи Натяжение и сжатие.

Зная все величины, мы можем построить графики, показывающие изменение этих величин для каждого интервала. Графики представлены на рисунке ниже.

Пример решения задачи с непрерывной нагрузкой

Следующий пример, который мы рассмотрим, - это задача с брусом с постоянной нагрузкой q=4 кН/м. Брус будет состоять из двух частей с разными площадями поперечного сечения. На этот раз задача будет решаться на числовых данных.

Задача также будет решена с помощью Калькулятор растяжения для решения задач такого типа.

На рисунке выше показан пример, который мы будем решать. Начнем с обозначения реакций Ra и Rb в опорах. Как видите, столбик расположен вертикально, чтобы показать вам, как решать такую задачу и как строить графики.

На следующем этапе мы напишем уравнение равновесия и добавим геометрическое условие. В нашем случае мы будем иметь два отрезка от точки A до начала нагрузки q и от этой точки до точки B.

Затем мы выведем формулы для удлинений отрезков L1 и L2. После подставим известные величины для сил N1 и N2 в соответствующие отрезки. Как видите, во втором отсеке, где действует постоянная нагрузка, для определения удлинения мы используем интеграл от отношения нормальной силы к произведению модуля Юнга и площади поперечного сечения.

Решив это выражение, мы получим реакцию Ra. Затем, подставив реакцию Ra в условие равновесия, получим Rb.

Как видно, удлинение на конце бруска равно нулю, что подтверждает правильность решения задачи. На этом запись Сжатие статическое неопределимое напряжение - задачи завершена.