In questa voce:
- Metodo di soluzione per compiti staticamente indeterminati
- Esempio di soluzione a un compito di forza concentrata
- Esempio di soluzione di un compito a carico continuo
Lo sforzo normale indotto da forze di trazione e compressione in una barra prismatica è stato discusso nella voce Tensione e compressione. In questo post abbiamo trattato esempi determinabili staticamente, cioè esempi in cui avevamo una sola reazione di supporto ed eravamo in grado di determinarla dalla condizione di equilibrio.
Compiti staticamente indeterminati
Ora esamineremo esempi un po' più difficili, cioè staticamente non determinanti. Si tratta di compiti in cui la barra è fissata a entrambe le estremità (si potrebbe dire che è inserita tra due pareti non scorrevoli). In questo caso, abbiamo due forze di reazione incognite di questi vincoli e una sola equazione di equilibrio, per cui si parla di esempi staticamente non equivoci.
Equazioni di equilibrio
Condizione geometrica
In questo caso, si utilizza un'ulteriore condizione geometrica. Questa condizione stabilisce che l'allungamento totale della barra deve essere pari a zero. Poiché entrambe le estremità della barra non possono muoversi (sono vincolate), la deformazione totale del nostro sistema è uguale a "0".
Potreste imbattervi in compiti in cui la barra è posizionata verticalmente. Non ha importanza il metodo di soluzione, che viene seguito esattamente allo stesso modo.
Per quanto riguarda il numero di frammenti in cui dividere il nostro bar, sono importanti due fattori:
- variazione del carico - forza aggiuntiva o carico continuo
- variazione dell'area della sezione trasversale o della rigidità del materiale (modulo di Young)
Entrambi questi fattori influenzano la quantità di deformazione della nostra barra.
Tensione staticamente indeterminata - Compiti
Esempio di soluzione a un compito di forza concentrata
Come primo esempio, risolveremo un compito con una barra caricata da una singola forza concentrata. La barra sarà composta da due parti con aree trasversali diverse. Il compito sarà risolto su simboli senza dati numerici, cosa comune in questo argomento.
| Tutti gli esempi utilizzati in questo post sono stati creati e calcolati nel mio sito web Calcolatore di allungamento. Vi invito a provare l'applicazione, con il suo aiuto potrete determinare le forze normali, lo sforzo normale e l'allungamento o l'accorciamento della barra. |
La figura sopra mostra l'esempio che risolveremo. Cominciamo a indicare le reazioni in Ra e Rb nei supporti. Come promemoria, l'espressione delle reazioni è arbitraria e siamo noi a decidere come considerarle.
Nella fase successiva, scriviamo l'equazione di equilibrio per le forze in direzione orizzontale e la condizione geometrica. Nel nostro caso, avremo due intervalli da A all'applicazione della forza F e dal punto di applicazione della forza F al punto B. Si elaborano quindi le formule per gli allungamenti della sezione L1 e L2. Dopo aver sostituito le quantità note per le forze N1 e N2 nei rispettivi intervalli e il prodotto di E e A e aver assimilato il totale a zero, siamo in grado di calcolare la reazione Ra. Quindi, dopo aver sostituito la reazione Ra nella condizione di equilibrio, si ottiene Rb.
Nella fase successiva, ora che conosciamo il valore delle reazioni di supporto, possiamo determinare le forze normali (assiali), le sollecitazioni normali e le deformazioni per ogni comparto. Questa fase di calcolo è già stata descritta nella voce Tensione e compressione.
Conoscendo tutte le quantità, possiamo procedere a disegnare i grafici che mostrano la variazione di queste quantità per ogni intervallo. I grafici sono riportati nella figura seguente.
Esempio di soluzione di un compito a carico continuo
Il prossimo esempio che esamineremo è quello di un compito con una barra con un carico continuo di q=4 kN/m. La barra sarà composta da due parti con aree trasversali diverse. Questa volta il compito sarà risolto su dati numerici.
Il compito sarà risolto anche con Calcolatore di allungamento per risolvere questo tipo di compito.
La figura sopra mostra l'esempio che risolveremo. Cominciamo a indicare le reazioni in Ra e Rb nei supporti. Come si può notare, la barra è posizionata verticalmente per mostrare come si risolve un compito del genere e come si disegnano i grafici.
Nella fase successiva, scriviamo l'equazione di equilibrio e aggiungiamo una condizione geometrica. Nel nostro caso, avremo due intervalli da A all'inizio del carico q e da questo punto al punto B.
Si elaborano quindi le formule per gli allungamenti dei segmenti L1 e L2. Dopo aver sostituito le quantità note per le forze N1 e N2 negli intervalli corrispondenti. Come si può vedere nel secondo comparto, dove c'è un carico continuo, per determinare l'allungamento utilizziamo l'integrale del quoziente della forza normale per il prodotto del modulo di Young e dell'area della sezione trasversale.
Risolvendo questa espressione, si ottiene la reazione Ra. Quindi, dopo aver sostituito la reazione Ra nella condizione di equilibrio, si ottiene Rb.
Nella fase successiva, ora che conosciamo il valore delle reazioni di supporto, possiamo determinare le forze normali (assiali), le sollecitazioni normali e le deformazioni per ogni comparto. Questa fase di calcolo è già stata descritta nella voce Tensione e compressione.
Conoscendo tutte le quantità, possiamo procedere a disegnare i grafici che mostrano la variazione di queste quantità per ogni intervallo. I grafici sono riportati nella figura seguente.
Come si può notare, l'allungamento all'estremità della barra è nullo, a conferma del fatto che abbiamo risolto bene il compito. Si conclude così la voce Tensione statica compressiva indeterminata - compiti.