A determinação da linha de deflexão é uma das principais etapas do projeto estrutural. Seja você um estudante se preparando para um colóquio sobre resistência de materiais ou um engenheiro verificando a rigidez de um componente, você precisa saber como a viga „funciona” sob carga.

Neste artigo, percorreremos o caminho completo: da teoria clássica integração da equação diferencial da linha de deflexão, A partir do desenho prático de diagramas de ângulos de rotação, até exemplos de uma viga com suporte simples e suporte

E se você valoriza seu tempo e quer evitar cálculos manuais tediosos, no final do artigo você encontrará meu calculadora de feixe proprietária, que realizará essas operações para você em questão de segundos. Vamos começar!

1. Base teórica: Equação diferencial da linha de deflexão
2. Método analítico: integração passo a passo
3. Exemplo 1: Viga com apoio simples
4. Exemplo 2: Viga em balanço
5. Verificação rápida: use a calculadora de vigas on-line

1. teoria e metodologia: de onde vem a deflexão?

Cálculo da deflexão da viga é um dos elementos mais importantes da verificação do Estado Limite de Manutenção (SGU). Para entender esse processo, precisamos voltar à base do equação diferencial da linha de deflexão do feixe.

A relação fundamental que une momento de flexão vs. deflexão, é descrito pela fórmula:

Onde:

• $EI$- que rigidez à flexão da viga (E - módulo de Young, I - momento de inércia da seção).
• $y”(x)$ - é a segunda derivada da deflexão (curvatura).
• $M(x)$ - é uma função do momento de flexão em uma determinada seção.

Nosso aplicativo método analítico para o cálculo de deflexões é fazer um escalonamento duplo dessa equação, passando das forças internas para a deformação real do componente.

2. integrando a equação da linha de deflexão passo a passo

Essa parte do cálculo da deflexão da viga geralmente causa a maioria dos problemas por causa das integrais, que não são apreciadas por todos. No caso das equações de momento para vigas, elas geralmente são funções simples de integrar, portanto, não há com o que se preocupar. Integração da equação da linha de deflexão é realizado em duas etapas:

1. Primeira integração: Permite que a função dos ângulos de rotação das seções transversais seja obtida $\theta(x)$
2. Segunda integração: Permite que a função de deflexão seja determinada $y(x)$, que é a linha de deflexão que está sendo procurada.

Durante o cálculo, as constantes de integração C1 e C2 aparecem. Para determiná-las, precisamos definir as chamadas "constantes de integração". condições iniciais, resultante da forma como a viga é apoiada (por exemplo, sem deflexão no apoio).

3 Exemplo 1: Viga com apoio simples - deflexão e cálculos

Esse é o caso mais comum no setor de construção. Viga com suporte simples e sua deflexão com uma carga concentrada ou uniforme é um clássico das tarefas de exame.

Abaixo, você encontrará um exemplo de solução para calcular a deflexão de uma viga. Para as soluções de exemplo, usei Calculadora de Vigas que eu recomendo a você.

Em nosso exemplo, há uma viga de 2 m de comprimento apoiada em duas extremidades e carregada com uma carga contínua q e uma força concentrada F.

Para calcular a deflexão, precisaremos do momento de flexão, portanto, primeiro precisamos resolver a viga determinando as equações de reação e momento de flexão. Mais informações sobre isso podem ser encontradas em entrada.

Cálculo de reações em suportes.

Cálculo do momento de flexão em compartimentos.

Depois de determinarmos as equações do momento de flexão para a viga de exemplo, podemos passar para a integração e determinar a linha de deflexão. Para isso, usamos as equações do momento de flexão para cada compartimento calculado na etapa anterior e as integramos duas vezes. A primeira equação nos dá a solução para o ângulo de deflexão e a segunda para a deflexão. Assim, obtemos 4 constantes de integração C1, C2, C3, C4, duas constantes para cada compartimento.

Na próxima etapa, precisamos calcular as constantes de integração. Para isso, usaremos as condições iniciais. O princípio é que precisamos de tantas condições quantas forem as constantes de integração- No nosso caso, 4. Nos locais dos suportes, temos certeza de que não haverá deflexão da viga, portanto, y(x) nos locais dos suportes é considerado igual a zero. Além disso, sabemos que, na junção dos dois compartimentos, devemos ter continuidade da deflexão e do ângulo de deflexão, portanto, temos duas equações adicionais.

Com as condições de contorno estabelecidas, prosseguimos com o cálculo das constantes de integração, substituindo os valores apropriados nas equações. Isso agora é matemática pura.

Os resultados obtidos para as constantes de integração

Após substituir as constantes de integração nas equações, obtemos a forma final das equações:

Quando tivermos as equações nessa forma, substituir números entre 0 e 2 m no lugar de x nos dará a seta de deflexão e o ângulo de deflexão de nossa viga ao longo de seu comprimento, e podemos desenhá-los como um gráfico.

Exemplo 2: Viga cantilever - deflexão e cálculos

No caso de suporte, cálculos de deflexão parecem um pouco diferentes por causa da restrição. W viga cantilever a maior deflexão e o maior ângulo de rotação ocorrem na própria extremidade livre.

Abaixo, você encontrará um exemplo de solução para calcular a deflexão de uma viga. Para as soluções de exemplo, usei Calculadora de Vigas que eu recomendo a você.

Em nosso exemplo, há uma viga de comprimento L restringida na extremidade esquerda no ponto A e carregada com uma força concentrada F=5qL na outra extremidade.

Para calcular a deflexão, precisaremos do momento de flexão, portanto, primeiro precisamos resolver a viga determinando as equações de reação e momento de flexão. Mais informações sobre isso podem ser encontradas em entrada.

Cálculo de reações em suportes.

Cálculo do momento de flexão em compartimentos.

Depois de determinarmos as equações do momento de flexão para o nosso exemplo de viga, podemos passar para a integração e determinar a linha de deflexão. Para fazer isso, usamos a equação do momento de flexão e a integramos duas vezes. A primeira equação nos dá a solução para o ângulo de deflexão e a segunda para a deflexão. Assim, obtemos duas constantes de integração C1 e C2.

Na próxima etapa, precisamos calcular as constantes de integração. Um aspecto crucial para esse esquema é que, no ponto de restrição, tanto a deflexão quanto o ângulo de rotação são zero. Com esse diagrama de ângulo de rotação e deflexão começa com valores zero na parede e aumenta rapidamente em direção à extremidade da viga.

Após substituir as constantes de integração nas equações, obtemos a forma final das equações:

Quando tivermos as equações nessa forma, a substituição de números de 0 a L no lugar de x nos dará a seta de deflexão e o ângulo de deflexão de nossa viga ao longo de seu comprimento e poderá ser desenhada como um gráfico.

5 Verifique seus resultados: Calculadora de feixe on-line

A integração manual do momento fletor é uma das habilidades mais importantes no estudo da resistência dos materiais. É assim que você realmente começa a entender como uma viga funciona. O problema é que, em tarefas mais complexas, é muito fácil cometer um pequeno erro - uma marca no momento, uma condição de limite mal escrita ou um erro na integração.

É por isso que criei uma calculadora de deflexão de viga que permite que você rapidamente Verifique seus cálculos - especialmente com exemplos mais difíceis.

Essa ferramenta pode ajudá-lo:

Verifique seus resultados
Compare a solução calculada manualmente com o resultado do modelo computacional e certifique-se de que suas integrais e condições de contorno estejam corretas.

Compreender melhor o comportamento da viga
Os gráficos gerados automaticamente de forças de cisalhamento, momentos de flexão e linhas de deflexão ajudam a ver o que realmente está acontecendo na estrutura.

Lidar com tarefas mais difíceis
O suporte a vários esquemas de carga e suporte torna a ferramenta ideal para exemplos mais desafiadores de trabalhos de casa ou projetos.

Se quiser ter certeza de que seus cálculos estão corretos - confira-os em segundos.

Não deixe que um pequeno erro na integração estrague todo o seu trabalho. Verifique seus cálculos e aprenda a resistência dos materiais muito mais rapidamente.