Die Bestimmung der Durchbiegungslinie ist einer der wichtigsten Schritte bei der Tragwerksplanung. Ob Sie sich als Student auf ein Festigkeitskolloquium vorbereiten oder als Ingenieur die Steifigkeit eines Bauteils überprüfen, Sie müssen wissen, wie der Balken unter Last „funktioniert”.

In diesem Artikel gehen wir den gesamten Weg: von der klassischen Theorie Integration der Differentialgleichung der Ablenkungslinie, durch praktisches Zeichnen von Drehwinkeldiagrammen zu Beispielen für ein einfach gestützter Balken und Halterung

Und wenn Sie Ihre Zeit wertschätzen und mühsame Handrechnungen vermeiden wollen, finden Sie am Ende des Artikels meine proprietärer Strahlenrechner, die diese Vorgänge in Sekundenschnelle für Sie erledigt. Fangen wir an!

1. Theoretische Grundlage: Differentialgleichung der Ablenkungslinie
2. Analytische Methode: Schrittweise Integration
3. Beispiel 1: Einfach gestützter Balken
4. Beispiel 2: Auskragender Balken
5. Schnelle Überprüfung: Verwenden Sie den Online-Strahlenrechner

1) Theorie und Methodik: Woher kommt die Ablenkung?

Berechnung der Durchbiegung des Balkens ist eines der wichtigsten Elemente der Überprüfung des Grenzzustands der Gebrauchstauglichkeit (SGU). Um diesen Prozess zu verstehen, müssen wir zurück zur Grundlage der Differentialgleichung der Strahlablenkungslinie.

Die fundamentale Beziehung, die uns verbindet Biegemoment vs. Durchbiegung, wird durch die Formel beschrieben:

Wo:

• $EI$- das Biegesteifigkeit des Trägers (E - Elastizitätsmodul, I - Trägheitsmoment des Profils).
• $y”(x)$ - ist die zweite Ableitung der Durchbiegung (Krümmung).
• $M(x)$ - ist eine Funktion des Biegemoments in einem bestimmten Abschnitt.

Unser Antrag analytische Methode zur Berechnung von Durchbiegungen besteht darin, diese Gleichung doppelt zu skalieren, indem man von den inneren Kräften zur tatsächlichen Verformung des Bauteils übergeht.

2. schrittweise Integration der Ablenkungsliniengleichung

Dieser Teil der Balkenverformungsberechnung bereitet im Allgemeinen die meisten Probleme, da die Integrale nicht bei allen beliebt sind. Bei den Momentengleichungen für Balken handelt es sich in der Regel um einfache Funktionen, die integriert werden können, so dass es keinen Grund zur Sorge gibt. Integration der Gleichung für die Ablenkungslinie wird in zwei Stufen durchgeführt:

1. Erste Integration: Ermöglicht es, die Funktion der Drehwinkel der Querschnitte zu erhalten $\theta(x)$
2. Zweite Integration: Ermöglicht die Bestimmung der Ablenkungsfunktion $y(x)$, das ist die gesuchte Ablenkungslinie.

Bei der Berechnung treten die Integrationskonstanten C1 und C2 auf. Um sie zu bestimmen, müssen wir die sogenannten "Integrationskonstanten" definieren. Ausgangsbedingungen, die sich aus der Art der Auflagerung des Trägers ergibt (z. B. keine Durchbiegung an der Auflagerung).

3 Beispiel 1: Einfach gestützter Balken - Durchbiegung und Berechnungen

Dies ist der häufigste Fall im Baugewerbe. Einfach gestützter Balken und seine Durchbiegung mit einer konzentrierten oder gleichmäßigen Last ist ein Klassiker unter den Prüfungsaufgaben.

Nachfolgend finden Sie eine Beispiellösung für die Berechnung der Durchbiegung eines Balkens. Für die Beispiellösungen habe ich verwendet Strahlenberechner die ich Ihnen empfehle.

In unserem Beispiel handelt es sich um einen Balken von 2 m Länge, der an zwei Enden abgestützt und mit einer ständigen Last q und einer konzentrierten Kraft F belastet ist.

Um die Durchbiegung zu berechnen, benötigen wir das Biegemoment. Daher müssen wir zunächst den Balken lösen, indem wir die Reaktions- und Biegemomentgleichungen bestimmen. Mehr dazu finden Sie in diesem Eintrag.

Berechnung von Reaktionen in Trägern.

Berechnung des Biegemoments in den Fächern.

Nachdem wir die Gleichungen für das Biegemoment für unseren Beispielträger bestimmt haben, können wir zur Integration und zur Bestimmung der Durchbiegungslinie übergehen. Dazu verwenden wir die im vorherigen Schritt berechneten Gleichungen für das Biegemoment für jedes Fach und integrieren sie zweimal. Die erste Gleichung liefert die Lösung für den Beugewinkel, die zweite für die Durchbiegung. Auf diese Weise erhalten wir 4 Integrationskonstanten C1, C2, C3, C4, zwei Konstanten für jedes Fach.

Im nächsten Schritt müssen wir die Integrationskonstanten berechnen. Dazu werden wir die Anfangsbedingungen verwenden. Das Prinzip ist, dass wir so viele Bedingungen brauchen, wie es Integrationskonstanten gibt- In unserem Fall (4) sind wir sicher, dass es an den Stellen der Stützen keine Durchbiegung des Trägers geben wird, so dass y(x) an den Stellen der Stützen gleich Null ist. Außerdem wissen wir, dass an der Verbindung der beiden Fächer die Durchbiegung und der Beugewinkel konstant sein müssen, so dass wir zwei zusätzliche Gleichungen haben.

Nachdem die Randbedingungen festgelegt sind, können wir die Integrationskonstanten berechnen, indem wir die entsprechenden Werte in die Gleichungen einsetzen. Dies ist nun reine Mathematik.

Die Ergebnisse für die Integrationskonstanten

Nachdem wir die Integrationskonstanten in die Gleichungen eingesetzt haben, erhalten wir die endgültige Form der Gleichungen:

Sobald wir die Gleichungen in dieser Form haben, erhalten wir durch Einsetzen von Zahlen zwischen 0 und 2 m anstelle von x den Ablenkungspfeil und den Ablenkungswinkel unseres Balkens entlang seiner Länge, und wir können diese in ein Diagramm einzeichnen.

Beispiel 2: Freitragender Träger - Durchbiegung und Berechnungen

Im Fall von Halterung, Durchbiegungsberechnungen wegen der Zurückhaltung etwas anders aussehen. W Auslegerbalken die größte Durchbiegung und der größte Drehwinkel treten am freien Ende selbst auf.

Nachfolgend finden Sie eine Beispiellösung für die Berechnung der Durchbiegung eines Balkens. Für die Beispiellösungen habe ich verwendet Strahlenberechner die ich Ihnen empfehle.

In unserem Beispiel ist ein Balken der Länge L am linken Ende im Punkt A eingespannt und am anderen Ende mit einer konzentrierten Kraft F=5qL belastet.

Um die Durchbiegung zu berechnen, benötigen wir das Biegemoment. Daher müssen wir zunächst den Balken lösen, indem wir die Reaktions- und Biegemomentgleichungen bestimmen. Mehr dazu finden Sie in diesem Eintrag.

Berechnung von Reaktionen in Trägern.

Berechnung des Biegemoments in den Fächern.

Nachdem wir die Gleichungen für das Biegemoment für unseren Beispielträger bestimmt haben, können wir zur Integration und zur Bestimmung der Durchbiegungslinie übergehen. Dazu verwenden wir die Gleichung für das Biegemoment und integrieren sie zweimal. Die erste Gleichung liefert uns die Lösung für den Beugewinkel, die zweite für die Durchbiegung. Und so erhalten wir 2 Integrationskonstanten C1 und C2.

In einem nächsten Schritt müssen wir die Integrationskonstanten berechnen. Entscheidend für dieses Schema ist, dass im Einspannpunkt sowohl die Durchbiegung als auch der Drehwinkel Null sind. Mit diesem Dreh- und Beugewinkel-Diagramm beginnt mit Nullwerten an der Wand und nimmt zum Ende des Balkens hin schnell zu.

Nachdem wir die Integrationskonstanten in die Gleichungen eingesetzt haben, erhalten wir die endgültige Form der Gleichungen:

Wenn wir die Gleichungen in dieser Form haben und anstelle von x die Zahlen von 0 bis L einsetzen, erhalten wir den Ablenkungspfeil und den Ablenkungswinkel unseres Balkens entlang seiner Länge und können ihn als Diagramm zeichnen.

5 Überprüfen Sie Ihre Ergebnisse: Online-Beam-Rechner

Die Integration des Biegemoments von Hand ist eine der wichtigsten Fähigkeiten beim Studium der Festigkeit von Werkstoffen. Auf diese Weise beginnt man wirklich zu verstehen, wie ein Balken funktioniert. Das Problem ist, dass man bei komplexeren Aufgaben sehr leicht einen kleinen Fehler machen kann - eine Markierung beim Moment, eine schlecht geschriebene Randbedingung oder ein Fehler bei der Integration.

Aus diesem Grund habe ich einen Balkenverbiegungsrechner entwickelt, mit dem Sie schnell Ihre Berechnungen zu überprüfen - insbesondere bei schwierigeren Beispielen.

Dieses Tool kann Ihnen helfen:

Prüfen Sie Ihre Ergebnisse
Vergleichen Sie die manuell berechnete Lösung mit dem Ergebnis des Berechnungsmodells und stellen Sie sicher, dass Ihre Integrale und Randbedingungen korrekt sind.

Besseres Verständnis des Verhaltens des Balkens
Automatisch erstellte Diagramme von Scherkräften, Biegemomenten und Durchbiegungslinien helfen dabei, die tatsächlichen Vorgänge in der Struktur zu erkennen.

Bewältigung schwierigerer Aufgaben
Durch die Unterstützung verschiedener Belastungs- und Förderschemata ist das Tool ideal für anspruchsvollere Beispiele aus Hausaufgaben oder Projekten.

Wenn Sie sichergehen wollen, dass Ihre Berechnungen korrekt sind, - überprüfen Sie sie in Sekundenschnelle.

Lassen Sie nicht zu, dass ein kleiner Fehler bei der Integration Ihre gesamte Aufgabe zunichte macht. Überprüfen Sie Ihre Berechnungen und lernen Sie die Festigkeit von Materialien viel schneller.