Calcul de la flèche d'une poutre : De l'intégration des moments à une calculatrice prête à l'emploi

La détermination de la ligne de déviation est l'une des étapes clés de la conception des structures. Que vous soyez un étudiant préparant un colloque sur la résistance des matériaux ou un ingénieur vérifiant la rigidité d'un composant, vous devez savoir comment la poutre „fonctionne” sous charge.

Dans cet article, nous ferons le tour complet de la question : de la théorie classique intégration de l'équation différentielle de la ligne de déflexion, L'utilisation d'une méthode d'évaluation de la qualité de l'eau, par l'établissement pratique de diagrammes d'angles de rotation, permet d'obtenir des exemples de une poutre simplement soutenue et support

Et si vous tenez à votre temps et que vous voulez éviter de fastidieux calculs manuels, vous trouverez à la fin de l'article mon calculateur de faisceau propriétaire, qui effectuera ces opérations pour vous en quelques secondes. C'est parti !

Base théorique : Équation différentielle de la ligne de déflexion
Méthode analytique : intégration pas à pas
Exemple 1 : poutre simplement soutenue
Exemple 2 : Poutre en porte-à-faux
Vérification rapide : Utilisez le calculateur de poutres en ligne

1) Théorie et méthodologie : d'où vient la déflexion ?

Calcul de la déflexion de la poutre est l'un des éléments les plus importants de la vérification de l'état limite de service (ENS). Pour comprendre ce processus, il faut revenir aux fondements de la équation différentielle de la ligne de déviation de la poutre.

La relation fondamentale qui lie moment de flexion en fonction de la déviation, est décrite par la formule :

EI ƒcdot y”(x) = -M(x)

Où ?

$EI$ - que rigidité en flexion de la poutre (E - module d'Young, I - moment d'inertie de la section).
$y”(x)$ - est la dérivée seconde de la déviation (courbure).
$M(x)$ - est fonction du moment de flexion à une section donnée.

Notre candidature méthode analytique pour le calcul des déflexions consiste à doubler l'échelle de cette équation, en passant des forces internes à la déformation réelle du composant.

2. intégrer l'équation de la ligne de déflexion étape par étape

Cette partie du calcul de la flèche de la poutre est généralement celle qui pose le plus de problèmes en raison des intégrales, qui ne sont pas appréciées de tous. Dans le cas des équations de moment pour les poutres, il s'agit généralement de fonctions simples à intégrer, il n'y a donc pas lieu de s'inquiéter. Intégration de l'équation de la ligne de déflexion s'effectue en deux étapes :

Première intégration : Permet d'obtenir la fonction des angles de rotation des sections transversales $\theta(x)$
Deuxième intégration : Permet de déterminer la fonction de déflexion $y(x)$ , qui est la ligne de déviation recherchée.

Au cours du calcul, les constantes d'intégration C1 et C2 apparaissent. Pour les déterminer, il faut définir ce que l'on appelle les "constantes d'intégration". conditions initiales, résultant de la manière dont la poutre est supportée (par exemple, pas de déviation au niveau du support).

3 Exemple 1 : Poutre en appui simple - flèche et calculs

C'est le cas le plus fréquent dans le secteur de la construction. Poutre en appui simple et sa flèche avec une charge concentrée ou uniforme est un classique des tâches d'examen.

Vous trouverez ci-dessous un exemple de solution pour calculer la flèche d'une poutre. Pour les solutions d'exemple, j'ai utilisé Calculateur de faisceau que je vous recommande.

Dans notre exemple, une poutre de 2 m de long est soutenue à deux extrémités et soumise à une charge continue q et à une force concentrée F.

Pour calculer la flèche, nous aurons besoin du moment de flexion. Nous devons donc d'abord résoudre la poutre en déterminant les équations de réaction et de moment de flexion. Vous trouverez plus d'informations à ce sujet dans le document suivant entrée.

Calcul des réactions dans les supports.

Calcul du moment de flexion dans les compartiments.

Une fois que nous avons déterminé les équations du moment fléchissant pour notre exemple de poutre, nous pouvons passer à l'intégration et à la détermination de la ligne de déviation. Pour ce faire, nous utilisons les équations du moment fléchissant pour chaque compartiment calculées à l'étape précédente et nous les intégrons deux fois. La première équation nous donne la solution pour l'angle de déviation et la seconde pour la déviation. Nous obtenons ainsi 4 constantes d'intégration C1, C2, C3, C4. deux constantes pour chaque compartiment.

Dans l'étape suivante, nous devons calculer les constantes d'intégration. Pour cela, nous utiliserons les conditions initiales. Le principe est que nous avons besoin d'autant de conditions qu'il y a de constantes d'intégration- Dans notre cas, aux emplacements des appuis, nous sommes sûrs qu'il n'y aura pas de déviation de la poutre, de sorte que y(x) aux emplacements des appuis est pris égal à zéro. En outre, nous savons qu'à la jonction des deux compartiments, nous devons avoir une continuité de la déviation et de l'angle de déviation, ce qui nous donne deux équations supplémentaires.

Les conditions aux limites étant en place, nous calculons les constantes d'intégration en substituant les valeurs appropriées dans les équations. Il s'agit maintenant de mathématiques pures.

Les résultats obtenus pour les constantes d'intégration

Après avoir substitué les constantes d'intégration dans les équations, nous obtenons la forme finale des équations :

Une fois que nous avons les équations sous cette forme, en remplaçant x par des nombres compris entre 0 et 2 m, nous obtenons la flèche de déviation et l'angle de déviation de notre poutre sur sa longueur, et nous pouvons les représenter sous forme de graphique.

Exemple 2 : Poutre en porte-à-faux - déviation et calculs

Dans le cas de support, calculs de déflexion ont un aspect légèrement différent en raison de la retenue. W poutre en porte-à-faux la plus grande déviation et le plus grand angle de rotation se produisent à l'extrémité libre elle-même.

Vous trouverez ci-dessous un exemple de solution pour calculer la flèche d'une poutre. Pour les solutions d'exemple, j'ai utilisé Calculateur de faisceau que je vous recommande.

Dans notre exemple, une poutre de longueur L est retenue à l'extrémité gauche au point A et chargée d'une force concentrée F=5qL à l'autre extrémité.

Calcul des réactions dans les supports.

Calcul du moment de flexion dans les compartiments.

Une fois que nous avons déterminé les équations du moment de flexion pour notre exemple de poutre, nous pouvons passer à l'intégration et à la détermination de la ligne de déviation. Pour ce faire, nous utilisons l'équation du moment de flexion et l'intégrons deux fois. La première équation nous donne la solution pour l'angle de déviation et la seconde pour la déviation. Nous obtenons ainsi 2 constantes d'intégration C1 et C2.

Dans l'étape suivante, nous devons calculer les constantes d'intégration. Ce qui est crucial pour ce schéma, c'est qu'au point de retenue, la déviation et l'angle de rotation sont tous deux nuls. Dans ce cas, la déviation et l'angle de rotation sont nuls. diagramme des angles de rotation et de déviation commence par des valeurs nulles à la paroi et augmente rapidement vers l'extrémité de la poutre.

Après avoir substitué les constantes d'intégration dans les équations, nous obtenons la forme finale des équations :

Une fois les équations sous cette forme, en remplaçant x par des nombres compris entre 0 et L, on obtient la flèche de déviation et l'angle de déviation de notre poutre sur sa longueur, qui peuvent être représentés sous la forme d'un graphique.

5 Vérifiez vos résultats : Calculateur de poutres en ligne

L'intégration manuelle du moment de flexion est l'une des compétences les plus importantes dans l'étude de la résistance des matériaux. C'est ainsi que l'on commence vraiment à comprendre le fonctionnement d'une poutre. Le problème est que dans les tâches plus complexes, il est très facile de faire une petite erreur - une marque par le moment, une condition limite mal écrite ou une erreur dans l'intégration.

C'est pourquoi j'ai créé un calculateur de déviation de poutre qui vous permet de rapidement vérifiez vos calculs - surtout avec des exemples plus difficiles.

Cet outil peut vous aider :

Vérifiez vos résultats
Comparez la solution calculée manuellement avec le résultat du modèle de calcul et assurez-vous que vos intégrales et conditions aux limites sont correctes.

Mieux comprendre le comportement de la poutre
Les tracés générés automatiquement des forces de cisaillement, des moments de flexion et des lignes de déviation permettent de voir ce qui se passe réellement dans la structure.

Faire face à des tâches plus difficiles
La prise en charge de différents schémas de charge et de soutien rend l'outil idéal pour les exemples plus difficiles issus de devoirs ou de projets.

Si vous voulez vous assurer que vos calculs sont corrects - les vérifier en quelques secondes.

Essayer gratuitement

Ne laissez pas une petite erreur d'intégration ruiner l'ensemble de votre travail. Vérifiez vos calculs et apprenez la résistance des matériaux beaucoup plus rapidement.