A lehajlási vonal meghatározása a szerkezeti tervezés egyik legfontosabb lépése. Akár anyagszilárdsági kollokviumra készülő diák, akár egy alkatrész merevségét ellenőrző mérnök, tudnia kell, hogyan „működik” a gerenda terhelés alatt.

Ebben a cikkben végigjárjuk a teljes utat: a klasszikus elmélettől kezdve az elhajlási egyenlet differenciálegyenletének integrálása, a forgásszögdiagramok gyakorlati rajzolásán keresztül a példákhoz a egyszerűen alátámasztott gerenda és konzol

És ha értékeli az idejét, és szeretné elkerülni a fárasztó kézi számításokat, a cikk végén megtalálja az én szabadalmaztatott sugárszámológép, amely ezeket a műveleteket másodpercek alatt elvégzi Ön helyett. Lássunk hozzá!

1. Elméleti alap: Az eltérítő egyenes differenciálegyenlete
2. Analitikus módszer: Lépésről lépésre történő integrálás
3. Példa 1: Egyszerűen alátámasztott gerenda
4. Példa 2: Konzolos gerenda
5. Gyors ellenőrzés: Használja az online gerenda kalkulátort

1. Elmélet és módszertan: honnan származik az eltérítés?

A gerenda alakváltozásának kiszámítása az egyik legfontosabb eleme az üzemképességi határállapot (SGU) ellenőrzésének. Ahhoz, hogy megértsük ezt a folyamatot, vissza kell mennünk az alapokhoz. a gerenda kitérési egyenletének differenciálegyenlete.

Az alapvető kapcsolat, amely összeköti hajlítónyomaték vs. alakváltozás, a képlettel írható le:

Hol:

• $EI$- hogy a gerenda hajlítási merevsége (E - Young modulus, I - a szakasz tehetetlenségi nyomatéka).
• $y”(x)$ - az elhajlás (görbület) második deriváltja.
• $M(x)$ - egy adott szakaszon a hajlítónyomaték függvénye.

A mi alkalmazásunk analitikus módszer az alakváltozások kiszámítására az egyenlet kétszeres skálázása, a belső erőkről az alkatrész tényleges alakváltozására való áttérés.

2. az alakváltozási egyenlet lépésről lépésre történő integrálása

A gerenda áthajlás számításának ez a része okozza általában a legtöbb problémát az integrálok miatt, amelyek nem mindenkinek tetszenek. A gerendák nyomatéki egyenletei esetében általában egyszerű függvények integrálhatók, így nincs miért aggódni. Az elhajlási egyenlet integrálása két szakaszban történik:

1. Első integráció: Lehetővé teszi a keresztmetszetek forgási szögeinek függvényét. $\theta(x)$
2. Második integráció: Lehetővé teszi az alakváltozási függvény meghatározását $y(x)$, amely a keresett eltérítési vonal.

A számítás során megjelennek a C1 és C2 integrációs konstansok. Ezek meghatározásához meg kell határoznunk az ún. integrációs állandókat. kezdeti feltételek, a gerenda alátámasztásának módjából adódóan (pl. nincs alakváltozás a támaszon).

3 Példa 1: Egyszerűen alátámasztott gerenda - lehajlás és számítások

Ez a leggyakoribb eset az építőiparban. Egyszerűen alátámasztott gerenda és annak lehajlása koncentrált vagy egyenletes terheléssel a vizsgafeladatok klasszikusa.

Az alábbiakban egy példamegoldást talál egy gerenda áthajlásának kiszámítására. A példamegoldásokhoz a következőket használtam sugárszámológép amit ajánlok neked.

Példánkban egy 2 m hosszú, két végén megtámasztott gerenda van, amelyet q folyamatos terhelés és F koncentrált erő terhel.

A lehajlás kiszámításához szükségünk lesz a hajlítónyomatékra, ezért először meg kell oldanunk a gerendát a reakció és a hajlítónyomaték egyenleteinek meghatározásával. Erről bővebben itt olvashat belépés.

A reakciók kiszámítása a hordozókban.

A rekeszek hajlítónyomatékának kiszámítása.

Miután meghatároztuk a példánk gerendájának hajlítónyomatékára vonatkozó egyenleteket, továbbléphetünk az integráláshoz és a lehajlási egyenes meghatározásához. Ehhez az előző lépésben kiszámított, az egyes rekeszek hajlítónyomatékára vonatkozó egyenleteket használjuk, és kétszer integráljuk azokat. Az első egyenlet a lehajlási szögre, a második az áthajlásra ad megoldást. Így 4 integrálási állandót kapunk: C1, C2, C3, C4. minden rekeszre két állandót.

A következő lépésben ki kell számolnunk az integrációs állandókat. Ehhez a kezdeti feltételeket fogjuk használni. Az elv az, hogy annyi feltételre van szükségünk, ahány integrációs állandó van.- Esetünkben 4. A támaszok helyein biztosak vagyunk benne, hogy a gerenda nem fog elhajlani, így y(x) a támaszok helyein nulla. Ezenkívül tudjuk, hogy a két rekesz találkozásánál az áthajlás és az áthajlási szög folytonosságának kell fennállnia, így két további egyenletünk van.

Miután a peremfeltételek megvannak, folytassuk az integrációs konstansok kiszámítását a megfelelő értékek egyenletekbe való behelyettesítésével. Ez már tiszta matematika.

Az integrációs állandókra kapott eredmények

Miután az integrációs állandókat behelyettesítjük az egyenletekbe, megkapjuk az egyenletek végső formáját:

Ha az egyenleteket ebben a formában megkaptuk, akkor az x helyére 0 és 2 m közötti számokat behelyettesítve megkapjuk a gerendánk terelőnyílását és terelőszögét a gerenda hossza mentén, és ezeket grafikonként megrajzolhatjuk.

Példa 2: Konzolos gerenda - lehajlás és számítások

A következő esetekben konzol, kitérés számítások a visszafogottság miatt kissé másképp néznek ki. W konzolos gerenda a legnagyobb kitérés és a legnagyobb elfordulási szög magánál a szabad végnél következik be.

Az alábbiakban egy példamegoldást talál egy gerenda áthajlásának kiszámítására. A példamegoldásokhoz a következőket használtam sugárszámológép amit ajánlok neked.

Példánkban egy L hosszúságú gerenda van, amely a bal végén, az A pontnál van rögzítve, a másik végén pedig F=5qL koncentrált erővel terhelt.

A lehajlás kiszámításához szükségünk lesz a hajlítónyomatékra, ezért először meg kell oldanunk a gerendát a reakció és a hajlítónyomaték egyenleteinek meghatározásával. Erről bővebben itt olvashat belépés.

A reakciók kiszámítása a hordozókban.

A rekeszek hajlítónyomatékának kiszámítása.

Miután meghatároztuk a példánk gerendájának hajlítónyomatékára vonatkozó egyenleteket, továbbléphetünk az integráláshoz és a lehajlási egyenes meghatározásához. Ehhez használjuk a hajlítónyomaték egyenletét, és kétszer integráljuk. Az első egyenlet megadja a megoldást a lehajlási szögre, a második pedig a lehajlásra. Így kapunk 2 integrálási állandót C1 és C2.

A következő lépésben ki kell számolnunk az integrációs állandókat. E rendszer szempontjából döntő fontosságú, hogy a visszatartási pontban mind az elhajlás, mind a forgásszög nulla. Ezzel forgási és elhajlási szög diagram a falnál nulla értékről indul, és a gerenda vége felé gyorsan növekszik.

Miután az integrációs állandókat behelyettesítjük az egyenletekbe, megkapjuk az egyenletek végső formáját:

Ha az egyenleteket ebben a formában megkaptuk, akkor az x helyére 0-tól L-ig terjedő számokat behelyettesítve megkapjuk a gerendánk terelőnyílását és terelőszögét a gerenda hossza mentén, és ezt grafikonként megrajzolhatjuk.

5 Ellenőrizze az eredményeket: Online gerenda kalkulátor

A hajlítónyomaték kézzel történő integrálása az egyik legfontosabb készség az anyagszilárdság tanulmányozásában. Így kezdjük el igazán megérteni, hogyan működik egy gerenda. A probléma az, hogy a bonyolultabb feladatoknál nagyon könnyű egy apró hibát elkövetni - egy jelet a nyomatéknál, egy rosszul megírt peremfeltételt vagy egy hibát az integrálásban.

Ezért hoztam létre egy gerenda alakváltozás kalkulátort, amely lehetővé teszi, hogy gyorsan ellenőrizze a számításokat - különösen a nehezebb példák esetében.

Ez az eszköz segíthet Önnek:

Ellenőrizze eredményeit
Hasonlítsa össze a kézzel kiszámított megoldást a számítási modell eredményével, és győződjön meg arról, hogy az integrálok és a peremfeltételek helyesek.

A gerenda viselkedésének jobb megértése
A nyíróerők, a hajlítónyomatékok és a lehajlási vonalak automatikusan generált ábrái segítenek látni, hogy mi is történik valójában a szerkezetben.

Nehezebb feladatok megoldása
A különböző terhelési és támogatási sémák támogatása ideálissá teszi az eszközt a házi feladatok vagy projektek nagyobb kihívást jelentő példáihoz.

Ha biztosítani akarja, hogy a számításai helyesek legyenek - pillanatok alatt megnézheti őket.

Ne hagyja, hogy egy apró integrációs hiba tönkretegye az egész feladatot. Ellenőrizze számításait, és tanulja meg az anyagszilárdságot sokkal gyorsabban.