La determinazione della linea di deflessione è uno dei passaggi chiave della progettazione strutturale. Che siate studenti che si preparano a un colloquio sulla resistenza dei materiali o ingegneri che verificano la rigidità di un componente, dovete sapere come „funziona” la trave sotto carico.

In questo articolo, percorreremo l'intero percorso: dalla teoria classica l'integrazione dell'equazione differenziale della linea di deflessione, attraverso il disegno pratico dei diagrammi degli angoli di rotazione, con esempi per una trave semplicemente appoggiata e staffa

E se tenete conto del vostro tempo e volete evitare noiosi calcoli a mano, alla fine dell'articolo troverete il mio calcolatore del fascio proprietario, che eseguirà queste operazioni per voi in pochi secondi. Cominciamo!

1. Base teorica: Equazione differenziale della linea di deflessione
2. Metodo analitico: integrazione passo-passo
3. Esempio 1: Trave semplicemente appoggiata
4. Esempio 2: Trave a sbalzo
5. Verifica rapida: utilizzare il calcolatore di travi online

1. Teoria e metodologia: da dove viene la deviazione?

Calcolo della deflessione della trave è uno degli elementi più importanti per la verifica dello Stato Limite di Servizio (SGU). Per comprendere questo processo, è necessario tornare alle fondamenta della equazione differenziale della linea di deflessione del fascio.

La relazione fondamentale che lega momento flettente vs. deflessione, è descritto dalla formula:

Dove:

• $EI$- che rigidità flessionale della trave (E - modulo di Young, I - momento d'inerzia della sezione).
• $y”(x)$ - è la derivata seconda della deflessione (curvatura).
• $M(x)$ - è una funzione del momento flettente in una determinata sezione.

La nostra applicazione metodo analitico per il calcolo delle deflessioni è quello di scalare due volte questa equazione, passando dalle forze interne alla deformazione effettiva del componente.

2. integrare passo dopo passo l'equazione della retta di deflessione

Questa parte del calcolo della deflessione della trave è in genere la più problematica a causa degli integrali, che non piacciono a tutti. Nel caso delle equazioni del momento per le travi, si tratta in genere di funzioni semplici da integrare, quindi non c'è da preoccuparsi. Integrazione dell'equazione della linea di deflessione si svolge in due fasi:

1. Prima integrazione: Permette di ricavare la funzione degli angoli di rotazione delle sezioni trasversali $\´theta(x)$
2. Seconda integrazione: Consente di determinare la funzione di deflessione $y(x)$, che è la linea di deflessione ricercata.

Durante il calcolo compaiono le costanti di integrazione C1 e C2. Per determinarle, è necessario definire le cosiddette "costanti di integrazione". condizioni iniziali, risultante dal modo in cui la trave è sostenuta (ad esempio, nessuna deflessione in corrispondenza dell'appoggio).

3 Esempio 1: trave semplicemente appoggiata - deflessione e calcoli

Questo è il caso più comune nel settore delle costruzioni. Trave semplicemente appoggiata e sua deflessione con un carico concentrato o uniforme è un classico dei compiti d'esame.

Di seguito troverete un esempio di soluzione per il calcolo della deflessione di una trave. Per le soluzioni di esempio ho utilizzato calcolatore di raggi che vi raccomando.

Nel nostro esempio, c'è una trave di 2 m di lunghezza appoggiata a due estremità e caricata con un carico continuo q e una forza concentrata F.

Per calcolare la deflessione, abbiamo bisogno del momento flettente, quindi prima dobbiamo risolvere la trave determinando le equazioni della reazione e del momento flettente. Per saperne di più, consultare questo documento ingresso.

Calcolo delle reazioni nei supporti.

Calcolo del momento flettente nei compartimenti.

Una volta determinate le equazioni del momento flettente per la nostra trave di esempio, possiamo passare all'integrazione e alla determinazione della linea di deflessione. Per fare ciò, utilizziamo le equazioni del momento flettente per ogni comparto calcolate nel passaggio precedente e le integriamo due volte. La prima equazione ci dà la soluzione per l'angolo di deviazione, la seconda per la deflessione. Si ottengono così 4 costanti di integrazione C1, C2, C3, C4. due costanti per ogni compartimento.

Nella fase successiva, dobbiamo calcolare le costanti di integrazione. A tale scopo utilizzeremo le condizioni iniziali. Il principio è che abbiamo bisogno di tante condizioni quante sono le costanti di integrazione- Nel nostro caso 4. In corrispondenza degli appoggi siamo sicuri che non ci sarà alcuna deflessione della trave, quindi y(x) in corrispondenza degli appoggi viene assunta uguale a zero. Inoltre, sappiamo che alla giunzione dei due compartimenti dobbiamo avere continuità della deflessione e dell'angolo di deflessione, quindi abbiamo due equazioni aggiuntive.

Una volta stabilite le condizioni al contorno, si procede a calcolare le costanti di integrazione sostituendo i valori appropriati nelle equazioni. Si tratta ora di pura matematica.

I risultati ottenuti per le costanti di integrazione

Dopo aver sostituito le costanti di integrazione nelle equazioni, si ottiene la forma finale delle equazioni:

Una volta ottenute le equazioni in questa forma, sostituendo i numeri compresi tra 0 e 2 m al posto di x si otterranno la freccia di deflessione e l'angolo di deflessione della trave lungo la sua lunghezza, che possono essere tracciati in un grafico.

Esempio 2: Trave a sbalzo - deflessione e calcoli

Nel caso di staffa, calcolo della deflessione hanno un aspetto leggermente diverso a causa del contenimento. W trave a sbalzo la massima deflessione e il massimo angolo di rotazione si verificano all'estremità libera stessa.

Di seguito troverete un esempio di soluzione per il calcolo della deflessione di una trave. Per le soluzioni di esempio ho utilizzato calcolatore di raggi che vi raccomando.

Nel nostro esempio, c'è una trave di lunghezza L vincolata all'estremità sinistra nel punto A e caricata con una forza concentrata F=5qL all'altra estremità.

Per calcolare la deflessione, abbiamo bisogno del momento flettente, quindi prima dobbiamo risolvere la trave determinando le equazioni della reazione e del momento flettente. Per saperne di più, consultare questo documento ingresso.

Calcolo delle reazioni nei supporti.

Calcolo del momento flettente nei compartimenti.

Una volta determinate le equazioni del momento flettente per la nostra trave di esempio, possiamo passare all'integrazione e alla determinazione della linea di deflessione. A tale scopo utilizziamo l'equazione del momento flettente e la integriamo due volte. La prima equazione ci dà la soluzione per l'angolo di flessione, la seconda per la deflessione. Otteniamo così le 2 costanti di integrazione C1 e C2.

Nella fase successiva, dobbiamo calcolare le costanti di integrazione. Per questo schema è fondamentale che nel punto di vincolo sia la deflessione che l'angolo di rotazione siano nulli. Con questo diagramma degli angoli di rotazione e deflessione parte da valori nulli in corrispondenza della parete e aumenta rapidamente verso l'estremità della trave.

Dopo aver sostituito le costanti di integrazione nelle equazioni, si ottiene la forma finale delle equazioni:

Una volta ottenute le equazioni in questa forma, sostituendo i numeri da 0 a L al posto di x si otterrà la freccia di deflessione e l'angolo di deflessione della trave lungo la sua lunghezza e si potrà tracciare un grafico.

5 Controllare i risultati: Calcolo online delle travi

L'integrazione manuale del momento flettente è una delle abilità più importanti nello studio della resistenza dei materiali. È così che si inizia a capire come funziona una trave. Il problema è che nei compiti più complessi è molto facile commettere un piccolo errore: un segno del momento, una condizione al contorno scritta male o un errore nell'integrazione.

Per questo motivo ho creato un calcolatore della deflessione delle travi che consente di verificare i calcoli - soprattutto con gli esempi più difficili.

Questo strumento può aiutarvi:

Controllare i risultati
Confrontate la soluzione calcolata manualmente con il risultato del modello computazionale e assicuratevi che gli integrali e le condizioni al contorno siano corretti.

Comprendere meglio il comportamento della trave
I grafici generati automaticamente delle forze di taglio, dei momenti flettenti e delle linee di deflessione aiutano a capire cosa sta realmente accadendo nella struttura.

Affrontare i compiti più difficili
Il supporto per diversi schemi di carico e di supporto rende lo strumento ideale per gli esempi più impegnativi di compiti o progetti.

Se volete essere sicuri che i vostri calcoli siano corretti - controllarli in pochi secondi.

Non lasciate che un piccolo errore di integrazione rovini l'intero compito. Verificate i vostri calcoli e imparate la resistenza dei materiali molto più velocemente.