Determinar la línea de deflexión es uno de los pasos clave en el diseño estructural. Tanto si eres un estudiante que se prepara para un coloquio sobre resistencia de materiales como un ingeniero que verifica la rigidez de un componente, necesitas saber cómo „funciona” la viga bajo carga.

En este artículo, recorreremos el camino completo: desde la teoría clásica integración de la ecuación diferencial de la línea de desviación, mediante el dibujo práctico de diagramas de ángulos de rotación a ejemplos para una viga simplemente apoyada y soporte

Y si valoras tu tiempo y quieres evitar tediosos cálculos manuales, al final del artículo encontrarás mi calculadora de haces propia, que realizará estas operaciones por ti en cuestión de segundos. Empecemos.

1. Base teórica: Ecuación diferencial de la línea de desviación.
2. Método analítico: integración paso a paso
3. Ejemplo 1: Viga simplemente apoyada
4. Ejemplo 2: Viga en voladizo
5. Verificación rápida: utilice la calculadora de vigas en línea

1. Teoría y metodología: ¿de dónde procede la desviación?

Cálculo de la deformación de la viga es uno de los elementos más importantes de la comprobación del Estado Límite de Servicio (ELS). Para entender este proceso, hay que remontarse a los fundamentos de la ecuación diferencial de la línea de desviación de la viga.

La relación fundamental que une momento flector vs. deflexión, se describe mediante la fórmula:

Dónde:

• $EI$- que rigidez a la flexión de la viga (E - módulo de Young, I - momento de inercia de la sección).
• $y”(x)$ - es la segunda derivada de la desviación (curvatura).
• $M(x)$ - es función del momento flector en una sección determinada.

Nuestra aplicación método analítico para el cálculo de las deformaciones es escalar dos veces esta ecuación, pasando de las fuerzas internas a la deformación real del componente.

2. integrar paso a paso la ecuación de la línea de desviación

Esta parte del cálculo de la flecha de la viga suele ser la que causa más problemas debido a las integrales, que no gustan a todo el mundo. En el caso de las ecuaciones de momento para vigas, suelen ser funciones sencillas de integrar, por lo que no hay de qué preocuparse. Integración de la ecuación de la línea de desviación se lleva a cabo en dos etapas:

1. Primera integración: Permite obtener la función de los ángulos de rotación de las secciones transversales $\theta(x)$
2. Segunda integración: Permite determinar la función de deformación $y(x)$, que es la línea de desviación buscada.

Durante el cálculo, aparecen las constantes de integración C1 y C2. Para determinarlas, necesitamos definir las llamadas "constantes de integración". condiciones iniciales, resultante de la forma en que está apoyada la viga (por ejemplo, sin flexión en el apoyo).

3 Ejemplo 1: Viga simplemente apoyada - flexión y cálculos

Este es el caso más común en el sector de la construcción. Viga simplemente apoyada y su deformación con una carga concentrada o uniforme es un clásico de las tareas de examen.

A continuación encontrarás un ejemplo de solución para calcular la flexión de una viga. Para las soluciones de ejemplo he utilizado calculadora de haces que te recomiendo.

En nuestro ejemplo, hay una viga de 2 m de longitud apoyada en dos extremos y cargada con una carga continua q y una fuerza concentrada F.

Para calcular la flexión, necesitaremos el momento flector, así que primero tenemos que resolver la viga determinando las ecuaciones de reacción y momento flector. Más información en entrada.

Cálculo de reacciones en soportes.

Cálculo del momento flector en compartimentos.

Una vez determinadas las ecuaciones del momento flector de nuestra viga de ejemplo, podemos pasar a la integración y a la determinación de la línea de flexión. Para ello, utilizamos las ecuaciones del momento flector de cada compartimento calculadas en el paso anterior y las integramos dos veces. La primera ecuación nos da la solución para el ángulo de flexión y la segunda para la deformación. Y así obtenemos 4 constantes de integración C1, C2, C3, C4. dos constantes para cada compartimento.

En el siguiente paso, tenemos que calcular las constantes de integración. Para ello utilizaremos las condiciones iniciales. El principio es que necesitamos tantas condiciones como constantes de integración haya- En nuestro caso 4. En los lugares de los apoyos estamos seguros de que no habrá deflexión de la viga por lo que y(x) en los lugares de los apoyos se toma igual a cero. Además, sabemos que en la unión de los dos compartimentos debemos tener continuidad de deflexión y ángulo de deflexión, por lo que tenemos dos ecuaciones adicionales.

Una vez establecidas las condiciones de contorno, procedemos a calcular las constantes de integración sustituyendo los valores adecuados en las ecuaciones. Esto ya es pura matemática.

Los resultados obtenidos para las constantes de integración

Tras sustituir las constantes de integración en las ecuaciones, obtenemos la forma final de las ecuaciones:

Una vez que tenemos las ecuaciones en esta forma, sustituyendo números entre 0 y 2 m en lugar de x nos dará la flecha de desviación y el ángulo de desviación de nuestra viga a lo largo de su longitud, y podemos dibujarlos como una gráfica.

Ejemplo 2: Viga en voladizo - flexión y cálculos

En el caso de soporte, cálculos de deformación tienen un aspecto ligeramente diferente debido a la restricción. W viga en voladizo la mayor flexión y el mayor ángulo de rotación se producen en el propio extremo libre.

A continuación encontrarás un ejemplo de solución para calcular la flexión de una viga. Para las soluciones de ejemplo he utilizado calculadora de haces que te recomiendo.

En nuestro ejemplo, hay una viga de longitud L restringida en el extremo izquierdo en el punto A y cargada con una fuerza concentrada F=5qL en el otro extremo.

Para calcular la flexión, necesitaremos el momento flector, así que primero tenemos que resolver la viga determinando las ecuaciones de reacción y momento flector. Más información en entrada.

Cálculo de reacciones en soportes.

Cálculo del momento flector en compartimentos.

Una vez determinadas las ecuaciones del momento flector de nuestra viga de ejemplo, podemos pasar a la integración y a la determinación de la línea de flexión. Para ello, utilizaremos la ecuación del momento flector y la integraremos dos veces. La primera ecuación nos da la solución para el ángulo de flexión y la segunda para la flexión. Y así obtenemos 2 constantes de integración C1 y C2.

En el siguiente paso, tenemos que calcular las constantes de integración. Para este esquema es crucial que en el punto de sujeción tanto la desviación como el ángulo de giro sean cero. De este modo diagrama de ángulos de rotación y desviación parte de valores cero en la pared y aumenta rápidamente hacia el extremo de la viga.

Tras sustituir las constantes de integración en las ecuaciones, obtenemos la forma final de las ecuaciones:

Una vez que tenemos las ecuaciones en esta forma, sustituyendo números de 0 a L en lugar de x nos dará la flecha de deflexión y el ángulo de deflexión de nuestra viga a lo largo de su longitud y se puede dibujar como un gráfico.

5 Comprueba tus resultados: Calculadora de vigas en línea

Integrar el momento flector a mano es una de las habilidades más importantes en el estudio de la resistencia de los materiales. Es la forma en que realmente empiezas a entender cómo funciona una viga. El problema es que, en tareas más complejas, es muy fácil cometer un pequeño error: una marca por el momento, una condición de contorno mal escrita o un error en la integración.

Por eso he creado una calculadora de deformación de vigas que le permite rápidamente verifique sus cálculos - especialmente con ejemplos más difíciles.

Esta herramienta puede ayudarte:

Compruebe sus resultados
Compara la solución calculada a mano con el resultado del modelo computacional y asegúrate de que tus integrales y condiciones de contorno son correctas.

Comprender mejor el comportamiento de la viga
Los gráficos generados automáticamente de esfuerzos cortantes, momentos flectores y líneas de deformación ayudan a ver lo que realmente ocurre en la estructura.

Enfrentarse a tareas más difíciles
La compatibilidad con varios esquemas de carga y soporte hace que la herramienta sea ideal para ejemplos más difíciles de deberes o proyectos.

Si quieres asegurarte de que tus cálculos son correctos - compruébalos en segundos.

No dejes que un pequeño error en la integración arruine toda tu tarea. Verifica tus cálculos y aprende resistencia de materiales mucho más rápido.