In diesem Beitrag:

1. Lösungsverfahren für statisch unbestimmte Aufgaben
2. Beispiel einer Lösung für eine Aufgabe mit konzentrierter Kraft
3. Beispiellösung für eine Dauerlastaufgabe

Die Normalspannung, die durch Zug- und Druckkräfte in einem prismatischen Stab entsteht, wurde in dem Eintrag Spannung und Kompression. In diesem Beitrag haben wir uns mit statisch bestimmbaren Beispielen beschäftigt, d. h. mit Beispielen, bei denen wir nur eine Stützreaktion hatten und diese aus der Gleichgewichtsbedingung bestimmen konnten.

Statisch unbestimmte Aufgaben

Wir werden uns nun Beispiele ansehen, die etwas schwieriger sind, d.h. statisch unbestimmt. Dabei handelt es sich um Aufgaben, bei denen der Stab an beiden Enden befestigt ist (man könnte sagen, dass er zwischen zwei nicht gleitenden Wänden eingeklemmt ist). In diesem Fall haben wir zwei unbekannte Reaktionskräfte dieser Einspannungen und nur eine Gleichgewichtsgleichung, weshalb wir von statisch nicht eindeutigen Beispielen sprechen.

Gleichgewichtsgleichungen

Geometrische Bedingungen

In diesem Fall verwenden wir zusätzliche geometrische Bedingung. Diese Bedingung besagt, dass die Gesamtdehnung des Stabes gleich Null sein muss. Da sich beide Enden des Stabes nicht bewegen können (sie sind eingespannt), ist die Gesamtverformung unseres Systems gleich "0".

Es kann vorkommen, dass Sie auf Aufgaben stoßen, bei denen die Leiste vertikal angeordnet ist. Für die Lösungsmethode spielt das keine Rolle, wir gehen genau den gleichen Weg.

Wenn es um die Anzahl der Fragmente geht, in die wir unseren Balken unterteilen, spielen zwei Faktoren eine Rolle:

• Veränderung der Belastung - zusätzliche Kraft oder Dauerbelastung
• Änderung der Querschnittsfläche oder der Steifigkeit des Materials (Elastizitätsmodul)

Beide Faktoren beeinflussen das Ausmaß der Verformung unserer Stange.

Statisch unbestimmter Zug - Aufgaben

Beispiel einer Lösung für eine Aufgabe mit konzentrierter Kraft

Als erstes Beispiel lösen wir eine Aufgabe mit einem Stab, der durch eine einzige konzentrierte Kraft belastet wird. Der Balken besteht aus zwei Teilen mit unterschiedlichen Querschnittsflächen. Die Aufgabe wird mit Symbolen ohne numerische Daten gelöst, wie es in diesem Aufgabenthema üblich ist.

Alle in diesem Beitrag verwendeten Beispiele wurden in meinem System erstellt und berechnet. Stretch-Rechner. Ich lade Sie ein, die App auszuprobieren. Mit ihrer Hilfe können Sie die Normalkräfte, die Normalspannung und die Dehnung oder Verkürzung des Stabes bestimmen.

Die obige Abbildung zeigt das Beispiel, das wir lösen werden. Beginnen wir damit, die Reaktionen in Ra und Rb in den Trägern zu bezeichnen. Zur Erinnerung: Der Ausdruck der Reaktionen ist willkürlich und wir entscheiden, wie wir sie nehmen.

Im nächsten Schritt schreiben wir die Gleichgewichtsgleichung für die Kräfte in horizontaler Richtung und die geometrische Bedingung. In unserem Fall haben wir zwei Intervalle von A bis zum Angriffspunkt der Kraft F und vom Angriffspunkt der Kraft F bis zum Punkt B. Anschließend berechnen wir die Formeln für die Dehnungen der Abschnitte L1 und L2. Nachdem wir die bekannten Größen für die Kräfte N1 und N2 in den jeweiligen Intervallen und das Produkt aus E und A eingesetzt und die Summe zu Null gemacht haben, können wir die Reaktion Ra berechnen. Setzt man dann die Reaktion Ra in die Gleichgewichtsbedingung ein, erhält man Rb.

Nachdem wir nun den Wert der Auflagerreaktionen kennen, können wir im nächsten Schritt die Normalkräfte (Axialkräfte), die Normalspannungen und die Dehnungen für jedes Fach bestimmen. Dieser Berechnungsschritt ist bereits im Eintrag Spannung und Kompression.

Da wir alle Größen kennen, können wir nun Diagramme zeichnen, die die Veränderung dieser Größen für jedes Intervall zeigen. Die Diagramme sind in der folgenden Abbildung enthalten.

Beispiellösung für eine Dauerlastaufgabe

Das nächste Beispiel, das wir untersuchen werden, ist eine Aufgabe mit einem Stab mit einer Dauerlast von q=4 kN/m. Der Stab besteht aus zwei Teilen mit unterschiedlichen Querschnittsflächen. Diesmal wird die Aufgabe mit numerischen Daten gelöst.

Die Aufgabe wird auch gelöst mit Stretch-Rechner um diese Art von Aufgabe zu lösen.

Die obige Abbildung zeigt das Beispiel, das wir lösen werden. Beginnen wir damit, die Reaktionen in Ra und Rb in den Stützen zu bezeichnen. Wie Sie sehen können, ist der Balken vertikal angeordnet, um Ihnen zu zeigen, wie man eine solche Aufgabe löst und wie man Diagramme zeichnet.

Im nächsten Schritt schreiben wir die Gleichgewichtsgleichung und fügen eine geometrische Bedingung hinzu. In unserem Fall haben wir zwei Intervalle von A bis zum Beginn der Last q und von diesem Punkt bis zu Punkt B.

Anschließend berechnen wir die Formeln für die Dehnungen der Segmente L1 und L2. Nachdem wir die bekannten Größen für die Kräfte N1 und N2 in die entsprechenden Intervalle eingesetzt haben. Wie im zweiten Fach zu sehen ist, in dem eine kontinuierliche Belastung vorliegt, verwenden wir das Integral des Quotienten aus der Normalkraft und dem Produkt aus Elastizitätsmodul und Querschnittsfläche, um die Dehnung zu bestimmen.

Nach dem Lösen dieses Ausdrucks erhält man die Reaktion Ra. Setzt man die Reaktion Ra in die Gleichgewichtsbedingung ein, so erhält man Rb.

Nachdem wir nun den Wert der Auflagerreaktionen kennen, können wir im nächsten Schritt die Normalkräfte (Axialkräfte), die Normalspannungen und die Dehnungen für jedes Fach bestimmen. Dieser Berechnungsschritt ist bereits im Eintrag Spannung und Kompression.

Da wir alle Größen kennen, können wir nun Diagramme zeichnen, die die Veränderung dieser Größen für jedes Intervall zeigen. Die Diagramme sind in der folgenden Abbildung enthalten.

Wie man sieht, ist die Dehnung am Ende des Stabes gleich Null, was bestätigt, dass wir die Aufgabe gut gelöst haben. Damit ist der Eintrag Druckstatische unbestimmte Spannung - Aufgaben abgeschlossen.