Czym jest moment bezwładności?

Moment bezwładności to jedna z podstawowych wielkości geometrycznych opisujących rozkład masy lub powierzchni wokół osi obrotu. W mechanice konstrukcji moment bezwładności powierzchni (inaczej: drugi moment powierzchni) opisuje odporność przekroju poprzecznego na zginanie. Im większy moment bezwładności, tym większa sztywność elementu konstrukcyjnego.

Moment bezwładności koła – wzór

Dla koła (pełnego dysku) o promieniu , moment bezwładności powierzchni względem osi przechodzącej przez środek i prostopadłej do powierzchni koła wynosi:

$I_{x},I_{y} = \frac{\pi}{4} R^4$

Jeśli znasz średnicę , możesz skorzystać z przekształconego wzoru:

$I_{x},I_{y} = \frac{\pi}{64} D^4$

Przykład obliczeniowy dla koła

Poniżej przedstawiamy przykładowe obliczenie momentu bezwładności koła w naszym kalkulatorze online. Wystarczy wybrać kształt „circle”, podać promień, a kalkulator automatycznie obliczy wartość momentu bezwładności.

Moment bezwładności półkola – brak symetrii

Dla półkola wzór na moment bezwładności różni się, ponieważ figura nie jest symetryczna w stosunku do osi poziomej. Moment bezwładności półkola względem osi poziomej przechodzącej przez środek ciężkości półkola:

$I_{x} = 0.11 R^4$

Moment bezwładności półkola względem osi pionowej przechodzącej przez środek ciężkości półkola:

$I_{y} = \frac{\pi}{8} R^4$

Czyli tyle ile połowa momentu bezładności pełnego koła.

Przykład obliczeniowy dla półkola

Poniżej przedstawiamy przykładowe obliczenie momentu bezwładności półkola w naszym kalkulatorze online. Wystarczy wybrać kształt „semicircle”, wybrać orientację na płaszczyźnie podać promień, oraz położenie środka półkola, a kalkulator automatycznie obliczy wartość momentu bezwładności.

Profil rurowy – lekkość i wytrzymałość

Przekroje rurowe (czyli pierścienie) mają bardzo korzystny stosunek momentu bezwładności do masy. Dzięki pustemu wnętrzu zachowują wysoką sztywność przy znacznie mniejszym zużyciu materiału. Wzór na moment bezwładności pierścienia (rury) o promieniu zewnętrznym i wewnętrznym:

$I_{x},I_{y} = \frac{\pi (R^4 - r^4)}{4}$

Przykład obliczeniowy profilu rurowego

Poniżej przedstawiamy przykładowe obliczenie momentu bezwładności przekroju rurowego w naszym kalkulatorze online. Wystarczy wybrać kształt „circle”, podać promień, następnie ponowić wybór „circle” dla otworu podać średnicę i zaznaczyć opcję „cut” w celu wycięcia otworu. Następnie wciśnij przycisk solve a kalkulator automatycznie obliczy wartość momentu bezwładności.

Jak widać moment bezwładności przekroju rurowego jest pomniejszony o wycięty otwór. Jednakże, ponieważ wycięcie znajduje się blisko środka masy, jego wpływ na opór przeciwko zginaniu jest minimalny, co sprawia, że wykorzystanie materiału w tym przypadku jest mało efektywne. W rezultacie, usunięcie tej części przekroju prowadzi do poprawy efektywności konstrukcji, ponieważ pozwala na lepsze rozłożenie materiału w miejscach, które mają większy wpływ na sztywność przekroju.

Podsumowanie

Moment bezwładności ma duże znaczenie zarówno w przypadku sił zginających, jak i odkształceń. Widać to w ich wzorach, w których moment bezwładności znajduje się w mianowniku:

Wzór na naprężenie od zginania:

$\sigma = \frac{M y}{J}$

Wzór na ugięcie beli wspornikowej obciążonej siła na końcu:

$f= \frac{P l^3}{3EJ}$

Moment bezwładność w przekrojach kołowych charakteryzuje się tym, że jest taki sam w obu osiach. Ma to sens, ponieważ przekrój jest symetryczny względem obu osi X i Y. Przeanalizujemy to, porównując z belką dwuteową, gdzie moment inercji może różnić się w zależności od osi. Korzystanie z tej symetrii jest korzystne, gdy obciążenie nie zawsze działa wzdłuż silniejszej osi członu, ponieważ przewidujemy wytrzymałość członu niezależnie od kierunku obciążenia.

Momenty bezładność dla innych figur podstawowych znajdziesz w tym wpisie

Moment bezwładności to kluczowa wielkość w analizie wytrzymałościowej konstrukcji. Znasz teraz wzory dla koła, półkola i profilu rurowego, a nasz kalkulator pozwala Ci szybko i dokładnie wykonać niezbędne obliczenia.
Wypróbuj nasze narzędzie do obliczania momentu bezwładności, aby samodzielnie przetestować powyższe obliczenia.

Wypróbuj za darmo